第17讲 二次函数中的角的和差倍半问题（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新九年级数学核心考点讲与练（沪教版）

第17讲 二次函数中的角的和差倍半问题（核心考点讲与练） 【基础知识】 利用角的和差关系，寻找等角，而等角存在两个相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例线段构建数量关系 【考点剖析】 1.（2022徐汇一模24题）如图，抛物线与x轴相交于点A，与y轴交于点B，C为线段OA上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线AB于点D，交该抛物线于点E． （1）求直线AB的表达式，直接写出顶点M的坐标； （2）当以B，E，D为顶点的三角形与相似时，求点C的坐标； （3）当时，求与的面积之比． 2.（2021年青浦二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D． （1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标； （2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当tan（∠PBO+∠PEO）＝时，求OE的长． 3．（2021秋•徐汇区校级期中）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴与BC相交于点E，与x轴相交于点F． （1）求线段DE的长． （2）联结OE，若点G在抛物线的对称轴上，且△BEG与△COE相似，请直接写出点G的坐标． （3）设点P为x轴上的一点，且∠DAO+∠DPO＝∠α，tanα＝4时，求点P的坐标． 4．（2019•嘉定区二模）在平面直角坐标系xOy中，如图，抛物线y＝mx2﹣2x+n（m、n是常数）经过点A（﹣2，3）、B（﹣3，0），与y轴的交点为点C． （1）求此抛物线的表达式； （2）点D为y轴上一点，如果直线BD和直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度； （3）设点P为此抛物线的对称轴上的一个动点，当△BPC为直角三角形时，求点P的坐标． 【过关检测】 1.（2022年虹口一模24）已知开口向上的抛物线y＝ax2﹣4ax+3与y轴的交点为A，顶点为B，点A与点C关于对称轴对称，直线AB与OC交于点D． （1）求点C的坐标，并用含a的代数式表示点B的坐标； （2）当∠ABC＝90°时，求抛物线y＝ax2﹣4ax+3的表达式； （3）当∠ABC＝2∠BCD时，求OD的长。 2．（2021秋•徐汇区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点A（2，﹣1），它的对称轴与x轴相交于点B． （1）求点B的坐标； （2）如果直线y＝x+1与此抛物线的对称轴交于点C、与抛物线在对称轴右侧交于点D，且∠BDC＝∠ACB，求此抛物线的表达式； （3）在（2）的条件下，若P为抛物线上一点，且∠PDC＝∠DBC+45°，直接写出点P坐标． 3．．（2020•奉贤期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+bx+c与x轴正半轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在该抛物线上且在第一象限． （1）求该抛物线的表达式； （2）将该抛物线向下平移m个单位，使得点C落在线段AB上的点D处，当AD＝3BD时，求m的值； （3）连接BC，当∠CBA＝2∠BAO时，求点C的坐标． 4．（2020长宁期末）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣3，﹣6）、B（6，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点D是抛物线上的点，且位于线段BC上方，联结CD． ①如果点D的横坐标为2．求cot∠DCB的值； ②如果∠DCB＝2∠CBO，求点D的坐标． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$第17讲 二次函数中的角的和差倍半问题（核心考点讲与练） 【基础知识】 利用角的和差关系，寻找等角，而等角存在两个相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例线段构建数量关系 【考点剖析】 1.（2022徐汇一模24题）如图，抛物线与x轴相交于点A，与y轴交于点B，C为线段OA上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线AB于点D，交该抛物线于点E． （1）求直线AB的表达式，直接写出顶点M的坐标； （2）当以B，E，D为顶点的三角形与相似时，求点C的坐标； （3）当时，求与的面积之比． 【小问1详解】解：令，则，或，， 令，则，， 设直线的解析式为，，，， ，，； 【小问2详解】解：，，是直角三角形， 设，①如图1， 当，时，， ，，（舍或，，； ②如图2， 当时，过点作轴交于点， ，，， ，，即，，， ，（舍或，，； 综上所述：点的坐标为，或，； 【小问3详解】解：如图3，作的垂直平分线交轴于点，连接，过点作于点， ，，，， 在中，，，， ，，， 设，则，， ，，，，， ，，， ，． 2.（2021