第八章 成对数据的统计分析 专题02 非线性回归分析-2021-2022学年“高人一筹”之高二数学“痛点”大揭秘（人教A版2019选择性必修第三册）

第8章 成对数据的统计分析 专题02 非线性回归分析 两个变量之间为非线性回归关系，解决这类题的思路是通过适当的变量置换把非线性回归方差转化为线性回归方程，然后再套用线性回归分析的解题步骤。 从近几年高考命题看，考查考查力度与以往基本相同，与之相关的题目，难度不大，运算量较大． 【题型导图】 类型一 指数型模型 例1：（2022·河南·鄢陵）新冠肺炎疫情爆发以来，口罩成了生活中的“刚需品”，为我们阻挡细菌、病毒的侵扰，但是，长时间佩戴的口罩会滋生细菌，某研究人员对某种口罩的佩戴时间以及口罩内细菌的含量进行了调查，得到了口罩内细菌含量y与时间x（单位：小时）的数据，其数据如下表所示： 时间x 2 4 6 8 10 12 口罩内细菌的含量y 4 11 27 49 96.2 194.8 (1)根据散点图可以判断，适宜作描述y与x关系的回归方程类型，请利用以下参考数据，求出y关于x的回归方程； (2)经过对这种细菌的研究，发现当口罩内细菌的含量超过时，就会对人体造成伤害，此时便需要更换口罩，请你计算口罩佩戴多长时间需要更换． 参考数据：其中． 7 63.67 3.49 70 9.49 25.9 1038.02 参考公式： 用最小二乘法求经过点，，，…，的线性回归方程的系数公式：，． 【变式1】（2022·全国·高二）某种昆虫的产卵数y和温度x有关，现收集了4组观测数据如下表． 温度x/℃ 20 25 30 35 产卵数y/个 5 20 100 325 画出散点图，判断与哪一个更适宜作为y关于x的经验回归方程类型？根据判断结果，试建立y关于x的经验回归方程（保留两位小数）． 参考数据：，，，，，，，，，． y 5 20 100 325 1.61 3 4.61 5.78 参考公式：，． 【变式2】（2022·全国·模拟）某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如下表所示： x 1 2 3 4 5 6 7 y 6 11 21 34 66 101 196 根据以上数据，绘制了如图所示的散点图. (1)根据散点图，判断在推广期内，与（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果及题干中表格内的数据，建立y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次.参考数据： 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 其中，. 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. (3)推广期结束后，为更好地服务乘客，车队随机调查了100人次的乘车支付方式，得到如下结果： 支付方式 现金 公交卡 扫码 人次 10 60 30 已知该线路公交车票价2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用公交卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据调查结果发现：使用扫码支付的乘客中有5人次乘客享受7折优惠，有10人次乘客享受8折优惠，有15人次乘客享受9折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其他因素的条件下，按照上述收费标准，试估计该车队一辆车一年的总收入. 【变式3】（2022·江西新余）经观测，某种昆虫的产卵数y与温度x有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如下图的散点图及一些统计量表. 275 731.1 21.7 150 2368.36 30 表中， (1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为y与x之间的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果及表中数据.试求y关于x回归方程. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 类型二 幂函数型模型 例2.（2022·全国·高二）某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费用，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销量y（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响，对近6年宣传费和年销量的数据做了初步统计，得到如下表数据： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年宣传费x（万元） 38 48 58 68 78 8