第13讲 二次函数中三角形的存在性（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新九年级数学核心考点讲与练（沪教版）

第13讲 二次函数中三角形的存在性（核心考点讲与练） 【基础知识】 1. 知识内容： 在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种： （1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边； （2）全等或相似：通过相似，将未知边与已知边建立起联系，进而表示出未知边 （3）两点间距离公式：设、，则A、B两点间的距离为： ． 2. 解题思路： 利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式； 根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程） 解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根． 注：用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单，但对几何能力的要求较高，用勾股定理则反之． 【考点剖析】 题型一：二次函数中直角三角形的存在性 1.（2019嘉定二模）在平面直角坐标系中，如图，抛物线（、是常数）经过点、，与轴的交点为点． （1）求此抛物线的表达式； （2）点为轴上一点，如果直线和直线的夹角为15º，求线段的长度； （3）设点为此抛物线的对称轴上的一个动点，当△为直角三角形时，求点的坐标． 题型二：函数中的等腰三角形分类讨论 2.(2019闵行区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标； （2）求证：∠DAB=∠ACB； （3）点Q在抛物线上，且△ADQ是以AD为底的等腰三角形，求Q点的坐标． 题型二：函数中的等腰直角三角形分类讨论 3．（2021•上海）已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点P（3，0）、Q（1，4）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC． ①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离； ②若C在抛物线上，求C的坐标． 【过关检测】 1.（2019宝山二模）如图，已知对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于C点，其中. （1）求点B的坐标及此抛物线的表达式； （2）点D为y轴上一点，若直线BD和直线BC的夹角为15º，求线段CD的长度； （3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，当为直角三角形时，求点的坐标. 2．（2020•浦东新区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为，，与轴相交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）联结、，求的正切值； （3）点在抛物线上，且，求点的坐标． 3．（2022春•浦东新区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过P（3，0）和Q（1，4）． （1）求这条抛物线的表达式； （2）已知点A在第一象限，且在直线PQ上，过A作AB上x轴的垂线，垂足为点B，在AB的左侧，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC， ①当点A与点Q重合时，如图所示，求点C到这条抛物线对称轴的距离； ②如果点C在这条抛物线上，求点C的坐标． ( 9 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $第13讲 二次函数中三角形的存在性（核心考点讲与练） 【基础知识】 1. 知识内容： 在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种： （1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边； （2）全等或相似：通过相似，将未知边与已知边建立起联系，进而表示出未知边 （3）两点间距离公式：设、，则A、B两点间的距离为： ． 2. 解题思路： 利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式； 根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程） 解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根． 注：用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单，但对几何能力的要求较高，用勾股定理则反之． 【考点剖析】 题型一：二次函数中直角三角形的存在性 1.（2019嘉定二模）在平面直角坐标系中，如图，抛物线（、是常数）经过点、，与轴的交点为点． （1）求此抛物线的表达式； （2）点为轴上一点，如果直线和直线的夹角为15º，求线段的长度； （3）设点为此抛物线的对称轴上的一个动点，当△为直角三角形时，求点的坐标． 【分析】 （1） 将点A和点B坐标代入解析式求解可得； （2） 先求出点C坐标，从而得出OC=OB=3，∠CBO=45°，据此知∠DBO=30°或60°，依据DO=BO•tan∠DBO求出得DO＝或3，从而得出答案； （3）设P（-1，t），知BC2=18，PB2=4+t2，PC2=t2-6t+10，再分点B、点C和点P直角顶点三种情况分别求解可得． 【详解】 （1） 依题意得：， 解得： ∴抛物线的表达式是 （2）∵抛物线与轴交点为