第11讲 全等三角形中“倍长中线”模型（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新八年级数学核心考点讲与练（浙教版）

第11讲 全等三角形中“倍长中线”模型（（核心考点讲与练） 【基础知识】 三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 主要思路：倍长中线（线段）造全等 在△ABC中 AD是BC边中线 延长AD到E， 使DE=AD，连接BE 作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE 延长MD到N， 使DN=MD，连接CD 【考点剖析】 1、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD． 求证：AB=AC． 2、如图1，已知中，是边上的中线． 求证：． 3.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线． （1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE． （2）求证：△ACD≌△EBD． （3）求证：AB+AC >2AD． （4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围． 4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD． 求证：AB=AC． 5.如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC． 求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE． 6.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F． 求证：∠AEF=∠EAF． 7.如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF． 求证：AD为△ABC的角平分线． 【过关检测】 一．选择题（共2小题） 1．（2016秋•宁都县期中）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，则BC边上的中线AD的取值范围是（　　） A．2＜AD＜8 B．0＜AD＜8 C．1＜AD＜4 D．3＜AD＜5 2．（2019秋•鄞州区期末）已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝4，AC＝6，则AD的取值范围是（　　） A．2＜AD＜10 B．1＜AD＜5 C．4＜AD＜6 D．4≤AD≤6 二．填空题（共2小题） 3．（2019秋•镇海区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连结DC，作DM⊥DC交AC于点M．若AB＝10，AM＝2，则CM＝　 　． 4．（2019秋•田家庵区期中）在△ABC中，AB＝8，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是　 　． 三．解答题（共3小题） 5．（2016•贵阳）（1）阅读理解： 如图①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断． 中线AD的取值范围是　 　； （2）问题解决： 如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF； （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明． 6．（2016春•灌云县期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： （1）如图1，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： 延长AD到E，使得DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形或全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）问题解决： 受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF． ①求证：BE+CF＞EF；②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明； （3）问题拓展： 如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作∠EDF为60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明． 7．（2011•嵊州市自主招生）阅读理解： 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，