专题1.11 一元二次方程的解法——因式分解法（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

专题1.11 一元二次方程的解法——因式分解法（知识讲解）

【学习目标】

1. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；

2. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．

【要点梳理】

知识要点一：因式分解法解一元二次方程

1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
　　（1）将方程右边化为0；
　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.

特别说明：

（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；

（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；

（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式；

（4）解一元二次方程时如果能用因式分解法进行解题，它是首选。

知识要点二：换元法解一元二次方程

1、解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.

换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知

识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.

2、我们常用的是整体换元法,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,

当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程,从而达到降次的目

的.

【典型例题】

类型一、用因式分解法解一元二次方程

1．用适当的方法解下列方程：

(1)                                (2)

【答案】(1)，  (2)，

【分析】

根据因式分解法解一元二次方程即可．

(1)  解：

解得，

(2) 

解得，

【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．

举一反三：

【变式1】用适当的方法解方程：(1)．    (2)．

【答案】(1)，；  (2)，

【分析】

将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案；

先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案．

(1)  解：，

，

则或，

解得，，

所以，原方程的解为，；

(2) 

，

则，

或，

解得，．

所以，原方程的解为，．

【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．

【变式2】解方程： (1)x2－x－2＝0；                 (2)3x(x－2)＝2－x．

【答案】(1)x1＝2，x2＝－1  (2)x1＝－，x2＝2

【分析】

（1）利用因式分解法解方程；

（2）利用因式分解法解方程；

(1) 解：x2－x－2＝0，

(x－2)(x＋1)＝0，

x－2＝0或x＋1＝0，

x1＝2，x2＝－1．

(3)  3x(x－2)＝2－x，

3x(x－2)＋(x－2)＝0，

(3x＋1)(x－2)＝0，

3x＋1＝0或x－2＝0，

x1＝－，x2＝2．

【点拨】本题考查了因式分解法解一元二次方程：将方程的右边化为零，把方程的左边分解为两个一次因式的积，令每个因式分别为零，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．

类型二、用换元法解一元二次方程

2．请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：