专题1.8 一元二次方程的解法——公式法（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

专题1.8 一元二次方程的解法——公式法（知识讲解）

【学习目标】

1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；

2. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．

【要点梳理】

知识点一 公式法解一元二次方程

（1）                 一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

（2）                 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。

（3）                 公式法解一元二次方程的具体步骤：

①               方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值

②               确定公式中a,b,c的值，注意符号；

③               求出b2-4ac的值；

④               若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。

知识点二 一元二次方程根的判别式

式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac.

 

                           △＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根

 

一元二次方程                △=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根

根的判别式

 

△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根                                           

【典型例题】

类型一、解一元二次方程--公式法

1．用公式法解下列方程：

（1）；                 （2）．

【答案】（1）；（2）

【分析】

按照公式法的一般步骤：先把式子化为一般式，找到a，b，c，先算，再带入求根公式求解即可．

解：（1）∵，

∴，

∴，

即；

（2）方程化为一般形式，得，这里，

∴，

，

∴原方程的解为．

【点拨】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记一元二次方程的求根公式，是解决本题的关键．

举一反三：

【变式1】用公式法解下列方程：

（1）；                （2）．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）利用求根公式解一元二次方程即可；

（2）先将方程整理为一般式，再根据求根公式解一元二次方程.

解：（1）∵，

∴，

∴，

∴原方程的根为：；

（2）原方程化为一般形式为：，

∵，

∴，

∴，

∴原方程的根为：．

【点拨】本题主要考查公式法解一元二次方程，解决本题的关键是要熟练掌握公式法解一元二次方程的步骤.

【变式2】用公式法解下列方程：

（1）．                （2）．

【答案】（1），．（2），．

【分析】

（1）先把方程化为一般式，再利用公式法进行求解；

（2）根据公式法即可求解.

解：（1）将方程化为一般形式，得．

这里，，．

∵，

∴，

即，．

（2）这里，，．

∵，

∴，

∴，．

【点拨】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知公式法解方程.

类型二、根的判别式

2．已知关于x的方程

（1）求证：方程总有两个实数根

（2）若方程有一个小于1的正根，求实数k的取值范围