专题1.6 一元二次方程的解法——配方法（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

专题1.6 一元二次方程的解法——配方法（知识讲解）

【学习目标】

1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；

2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；

3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.

【要点梳理】

知识点一、一元二次方程的解法---配方法

在比较大小中
二 配方法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解；

1、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；

2、把常数项移到等号的右边；

3、方程两边都除以二次项系数；

4、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；

5、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

知识点二、配方法的应用

1．用于比较大小：

在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.

2．用于求待定字母的值：

配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．

3．用于求最值：

“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．

4．用于证明：

“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．

特别说明：

“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同时对后期学习二次函数有着重要的作用，同学们一定要把它学好．

　【典型例题】

类型一、用配方法解一元二次方程

1. 用配方法解方程：．

【答案】，，

【分析】将原方程二次项系数化1，用配方法求解.

解：

       

     

∴ ，

【点拨】本题考查一元二次方程的解法，配方法是常用方法，掌握配方法解方程的步骤是解答此题的关键.

举一反三：
【变式1】 用配方法解方程：．

【答案】，．

【分析】利用配方法得到（x﹣）2=，然后利用直接开平方法解方程即可．

解：x2﹣x=﹣，

x2﹣x+=﹣+，

（x﹣）2=

x﹣=±，

所以x1=，x2=1．

【点拨】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形

式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．

【变式2】 用配方法解方程：2x2－4x－1＝0.

【答案】x1＝＋1，x2＝1－

解：根据配方法解方程即可．

移项得，2x2-4x=1，

将二次项系数化为1得，，

配方得，x2-2x+1=+1，，

∴，

∴．

类型二、配方法在代数中的应用

2．我们在学习一元二次方程的解法时，了解到配方法．“配方法”是解决数学问题的一种重要方法．请利用以上提示解决下题：

求证：

不论取任何实数，代数式的值总是正数

当为何值时，此代数式的值最小，并求出这个最小值．

【答案】(1)证明见分析；（2）4.

【分析】（1）此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．

（2）根据（1）4m2-4（m+1）+9=（2m-1）2+4得出m取时代数式的值最小，最小值是4．

解：（1）

；

∴不论取任何实数，代数式的值总是正数．由（1）