第17讲 轴对称中最短路径问题（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新八年级数学核心考点讲与练（人教版）

第17讲 轴对称中最短路径问题（核心考点讲与练） 【知识梳理】 1、最短路线问题 在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 【核心考点精讲】 一．选择题（共7小题） 1．（2022春•朝阳区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（3，3），点P为x轴上的动点，则PA+PB的最小值为（　　） A．2 B．2 C．5 D． 【分析】点A关于x轴对称点A′（1，﹣1），连接A′B交x轴于P，则此时，PA+PB＝A′B的值最小，过A′作A′C⊥BC，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：∵A（1，1）， ∴点A关于x轴对称点A′（1，﹣1）， 连接A′B交x轴于P， 则此时，PA+PB＝A′B的值最小， 过A′作A′C⊥BC， ∴A′B2． ∴PA+PB最小值为2， 故选A． 【点评】此题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键． 2．（2022春•南岸区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝7，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM＝1，则PM+PN的最小值为（　　） A．3 B． C．3.5 D． 【分析】作点M关于BD的对称点M'，连接PM'，则PM'＝PM，BM＝BM'＝1，当N，P，M'在同一直线上，且M'N⊥AC时，PN+PM'的最小值等于垂线段M'N的长，利用含30°角的直角三角形的性质，即可得到PM+PN的最小值． 【解答】解：如图所示，作点M关于BD的对称点M'，连接PM'，则PM'＝PM，BM＝BM'＝1， ∴PN+PM＝PN+PM'， 当N，P，M'在同一直线上，且M'N⊥AC时，PN+PM'的最小值等于垂线段M'N的长， 此时，∵Rt△AM'N中，∠A＝30°， ∴M'NAM'（7﹣1）＝3， ∴PM+PN的最小值为 3， 故选：A． 【点评】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 3．（2021秋•仓山区校级期末）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为（　　） A． B．3 C．3 D．2 【分析】过C作CF⊥AB交AD于E，则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF，根据等边三角形的性质得到BF＝ 1 2 AB＝ 1 2 ×6＝3，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：过C作CF⊥AB交AD于E， 则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF， ∵△ABC为等边三角形，边长为6， ∴BFAB6＝3， ∴CF3， ∴CE+EF的最小值为3， 故选：C． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是画出符合条件的图形． 4．（2022春•连城县校级月考）如图，△ABC为边长3的等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AB边上，且AE＝1，P为线段AD上的一个动点，则PB+PE的最小值是（　　） A．3 B． C． D． 【分析】作E关于AD的对称点E′，连接BE′交AD于P，于是得到PE+PB的最小值＝BE′，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：作E关于AD的对称点E′，连接BE′交AD于P， 则此时PE+PB有最小值，PE+PB的最小值＝BE′， ∴AE′＝AE＝1， ∴CE'＝3﹣1＝2， 作E'F⊥BC于F， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠C＝60°， ∴CF＝1，E'F， ∴BF＝3﹣1＝2， ∵AC＝BC＝3， ∴BE'． 故选：B． 【点评】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及勾股定理等知识，根据已知得出对应点P位置是解题关键． 5．（2022春•袁州区校级月考）已知在△ABC中，D为BC的中点，AD＝6，BD＝2.5，AB＝6.5，点P为AD边上的动点．点E为AB边上的动点，则PE+PB的最小值是（　　） A．5 B．6 C． D． 【分析】根据勾股定理的逆定理得到∠ADB＝90°，得到点B，点C关于直线AD对称，过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB＝CE的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：∵AD＝6，BD＝2.5，AB＝6.5， ∴AB2＝6.52＝42.25，AD2+BD2＝62+2.52＝42.25， ∴AB2＝AD2+BD2， ∴∠ADB＝9