专题21.18 实际问题与一元二次方程（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题21.18 实际问题与一元二次方程（知识讲解） 【学习目标】 1. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤； 2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 【要点梳理】 要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤 1. 利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 审题→寻找数量关系和等量关系→设未知数（直接假设和间接假设）→列一元二次方程→解方程→检验→作答。 要点二、一元二次方程应用题的主要类型 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为100c+10b+a. 　 (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 　　　如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 　　　几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 　　　如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题 　　列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 　　平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 　　平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 3.利润(销售)问题（中考常考点） 　　利润(销售)问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 4.几何问题 通过几何边角关系寻求等量关系，建立方程，从而求出线段的长度或角的大小。 【典型例题】 类型一、传播问题 1．某种病毒传播非常快，如果1人被感染，经过2轮感染后就会有81人被感染． (1)每轮感染中平均1人会感染几人？ (2)若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？ 【答案】(1)8人 (2)会 【分析】 （1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，根据一个人被感染经过两轮感染后就会有81个人被感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据3轮感染后被感染的人数=2轮感染后被感染的人数×（1+8），即可求出3轮感染后被感染的人数，再将其与700进行比较后即可得出结论． 解：(1)设每轮感染中平均1人会感染x人，依题意，得1＋x＋x（1＋x）＝81，解得x1＝8，x2＝－10（不合题意，舍去）． 答：每轮感染中平均1人会感染8人． (2)81×（1＋8）＝729（人），729＞700． 答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过700人． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 举一反三： 【变式1】 新冠肺炎传染性很强，曾有1人同时患上新冠肺炎，在一天内一人平均能传染人，经过两天传染后64人患上新冠肺炎，则的值为（       ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据两天后共有64人患上流感，列出方程求解即可． 解：依题意得1+x+x（1+x）=64， 解得x1=7，x2=-9（不合题意，舍去）． 故x值为7． 故选：D． 【点拨】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 【变式2】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干长出同样数量的小分支．若主干、支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为______． 【答案】x2+x+1＝73 【分析】由题意设每个支干长出x个小分支，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程． 解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意列方程得：x2+x+1＝73． 故答案为x2+x+1＝73． 【点拨】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． 类型二、增长率问题 2．某水果店标价为10元/kg的某种水果经过两次降价后价格为8.1元