专题06 复数的综合运用（知识梳理+专题过关）-2021-2022学年高一数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

专题06 复数的综合运用 【知识梳理】 一.基本概念 （1）叫虚数单位，满足 ，当时，. （2）形如的数叫复数，记作. ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数. ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，. 二.基本性质 1.复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数. （3）. 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数. 2.复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数. （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离. 【专题过关目录】 过关1：复数的有关概念 过关2：复数的几何意义 过关3：复数的四则运算 过关4：复数的方程问题 过关5：复数的周期性问题 过关6：复数的最值问题 过关7：复数的综合问题 【典型例题】 过关1：复数的有关概念 1．（2022·河南·高二阶段练习（文））若复数，则的虚部为（       ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算可得，再根据复数的乘法运算，可得，由此即可得到复数的虚部. 【详解】 因为，所以，所以，所以的虚部为. 故选：B. 2．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期中（理））若复数，则下列说法正确的是（       ） A．的虚部为 B．的共轭复数为 C．对应的点在第二象限 D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复数的定义，几何意义，即可判断选项. 【详解】 A.的虚部是1，故A错误；B.的共轭复数是，故B错误； C.的点时，在第二象限，故C正确；D.，故D错误. 故选：C 3．（2022·河南南阳·高二期中（理））已知i为虚数单位，a，b∈R，若，则（       ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【解析】 【分析】 结合复数乘法、复数相等、复数的模的知识求得正确答案. 【详解】 依题意， 所以， 所以. 故选：A 4．（2022·河南·高二期中（文））已知复数z满足(i为虚数单位)，则复数z的虚部为(       ) A． B． C．i D．1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据复数的运算法则计算即可． 【详解】 ， 故z的虚部为-1． 故选：B． 5．（2022·四川成都·高二期中（理））复数的虚部为（       ） A．－2 B．1 C．i D．2i 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数的除法法则进行化简，得到，求出虚部. 【详解】 ,所以的虚部为1. 故选：B 6．（2022·云南保山·高二期中）已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 结合共轭复数的概念以及复数的运算和复数相等得到，进而可以求出结果. 【详解】 设，则．由得，则，所以，，所以． 故选：B. （多选题）7．（2022·浙江·嘉兴市第五高级中学高二期中）已知复数，则下列说法正确的是（       ） A．z的实部为1 B．z在复平面内对应的点位于第四象限 C．z的虚部为﹣i D．z的共轭复数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】 结合复数的实部和虚部的概念、共轭复数的概念求解即可. 【详解】 因为， 所以z的实部为1，虚部为-1， 在复平面内对应的点为(1，-1)，在第四象限， 共轭复数为， 故C错误，ABD正确. 故选：ABD 8．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期中（文））若复数z的共轭复数是，且，则z的虚部为______． 【答案】－1 【解析】 【分析】 根据复数的除法计算，再根据共轭复数与虚部的定义得出即可 【详解】 因为，所以， 所以，所以z的虚部为． 故答案为： 9．（2022·河南商丘·高二期中（文））已知复数，，，为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数m的值； (2)若，求实数m的值. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）分别化简，然后计算，根据纯虚数的概念即可求解. （2）因为虚数无法比较大小，所以，由题意可知，为实数，令的实部大于0，虚部为0，即可求解. (1) 化简，， ， 因为为纯虚数， 则，解得 (2) 因为， 则，解得. 过关2：复数的几何意义 1．（2022·河南三门峡·高二期末（理））在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 应用复数的四则运算化简复