专题04 活用正余弦定理解三角形（知识梳理+专题过关）-2021-2022学年高一数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

专题04 活用正余弦定理解三角形 【知识梳理】 知识点1．正弦定理 ＝＝＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)． 常用变形： ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA＝，sinB＝，sinC＝； ③a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA． 知识点2．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC cosA＝，cosB＝，cosC＝． 知识点3．三角形中的常见结论 (1)A＋B＋C＝π． (2)在三角形中大边对大角，大角对大边：A>Ba>bsinA>sinB． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)△ABC的面积公式 ①S＝a·h(h表示a边上的高)； ②S＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝； ③S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)； ④S＝，其中P＝(a＋b＋c)． 知识点4．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 知识点5．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)． (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． (3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． (4)坡度＝，即坡角的正切值． 【专题过关目录】 过关1：利用正余弦定理解三角形 过关2：三角形形状的判断 过关3：三角形个数判断的问题 过关4：面积与周长问题 过关5：几何图形的计算 过关6：实际应用问题 【典型例题】 过关1：利用正余弦定理解三角形 1．（2022·湖南·长沙一中高二阶段练习）已知中，为中线，，.若，则边的长为（       ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由三角恒等式求出，再由正弦定理求出，最后由余弦定理得解. 【详解】 在中，， 由正弦定理得：，则，∴；由余弦定理得：， ∴. 故选：D. 2．（2022·广东·华南师大附中高二期中）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则B等于（       ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】 【分析】 由正弦定理进行求解. 【详解】 由正弦定理得：， 即，解得：， 因为， 所以或， 经检验，符合题意. 故选：D 3．（2022·河南·高二期中（文））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，，则（       ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由的范围及的值求解，利用正弦定理求解出，再利用余弦定理即可求解. 【详解】 ∵，且，∴. 又，由正弦定理得，即， ∵，∴. 由余弦定理得，即， 解得，. 故选：D. 4．（2022·甘肃·高台县第一中学高二期中（文））已知的内角，，对边分别为，，，，，.则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 利用余弦定理计算可得； 【详解】 解：依题意由余弦定理， 即，所以； 故选：B 5．（2022·河南·林州一中高二期中（文））在中，，，，则（       ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】 【分析】 由题可得，然后利用余弦定理即得. 【详解】 ∵， ∴， 由余弦定理可得，， ∴，即， 解得，或（舍去）. 故选：C. 6．（2022·甘肃白银·高二期末（文））中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由题得，进而根据余弦定理求解即可. 【详解】 解：依题意，即， 所以， 所以，由于， 所以． 故选：A 7．（2022·上海市进才中学高二阶段练习）在中，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用余弦定理可求的值，可得，利用三角形的内角和定理可求，利用诱导公式，二倍角的正切函数公式即可求解的值． 【详解】 ，，， ， ，可得， ， 则． 故选：C. 8．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习（文））在中，内角所对的边分别为，若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用正弦定理角化边可得，利用余弦定理可求得结果. 【详解】 由正弦定理得：， 令，，，. 故选：A. 9．（2021·福建·高二学业考试）已知，，分别为三个内角A，B，C的对边，且，，，则