第42期 5.3简单的轴对称图形；5.4利用轴对称进行设计（答案见第44期）-【数理报】2021-2022学年下学期七年级下册初一数学（北师大版）

书 建筑物的选址问题本 质上就是确定点的位置， 由于选址要求不同，确定 点的位置的方法也不同， 本文将这类问题整理分析 如下，供同学们参考． 一、运用线段垂直平 分线的性质确定 例１　如图１，有Ａ，Ｂ， Ｃ三个居民小区的位置成 三角形，现决定在三个小 区之间修建一个购物超 市，使超市到三个小区的 距离相等，请你作出超市Ｐ 的位置． 分析：要作的点Ｐ必须满足条件ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ，故 点Ｐ必须分别满足条件ＰＡ＝ＰＢ和ＰＢ＝ＰＣ．当点Ｐ在 线段ＡＢ的垂直平分线上时，ＰＡ＝ＰＢ；当点 Ｐ在线段 ＢＣ的垂直平分线上时，ＰＢ＝ＰＣ．所以线段ＡＢ的垂直 平分线和线段ＢＣ的垂直平分线 的交点即为点Ｐ的位置． 解：如图２，分别作线段 ＡＢ 的垂直平分线ｌ１，线段ＢＣ的垂直 平分线ｌ２，则ｌ１，ｌ２的交点即为超 市Ｐ的位置． 二、运用角的平分线的性质确定 例２　将例１中的使“超市到三个小区的距离相 等”改为“到三条街道ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ的距离相等”，请你作 出超市Ｐ的位置． 分析：要作的点Ｐ必须满足的条件是到 △ＡＢＣ的 三边的距离相等，故点 Ｐ到 ＡＢ，ＢＣ的距离相等且到 ＡＣ，ＢＣ的距离相等．当点Ｐ在∠ＡＢＣ的平分线上时，点 Ｐ到ＡＢ，ＢＣ的距离相等；当点Ｐ在∠ＡＣＢ的平分线上 时，点Ｐ到ＡＣ，ＢＣ的距离相等．所以点Ｐ在 ∠ＡＢＣ和 ∠ＡＣＢ的平分线的交点处． 解：如图３，分别作 ∠ＡＢＣ的 平分线 ＢＥ，∠ＡＣＢ的平分线 ＣＦ， 则ＢＥ，ＣＦ的交点即为超市Ｐ的位 置． 三、联用线段垂直平分线的性质和角的平分线的 性质确定 例３　如图４，有Ａ，Ｂ，Ｃ三个居民小区，现决定在 三个小区之间修建一个购物超市，使超市到两条街道 ＡＤ，ＡＥ的距离相等，且到 Ｂ，Ｃ两个居民小区的距离也 相等，请你作出超市Ｐ的位置． 分析：由已知，得点Ｐ到ＡＤ，ＡＥ的距离相等且到点 Ｂ，Ｃ的距离也相等．当点Ｐ在∠ＤＡＥ的平分线上时，点 Ｐ到ＡＤ，ＡＥ的距离相等；当点Ｐ在线段ＢＣ的垂直平分 线上时，点Ｐ到点Ｂ，Ｃ的距离相等．所以点Ｐ在∠ＤＡＥ 的平分线和线段 ＢＣ的垂直平分 线的交点处． 解：如图５，连接ＣＢ．作∠ＤＡＥ 的平分线ＡＦ，线段ＢＣ的垂直平分 线ＧＨ，则ＡＦ，ＧＨ的交点即为超市 Ｐ的位置． 书 上期２版 ５．１轴对称现象 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．一定，不一定； ４．③；　５．ＢＢＣ，ＷＷＷ； ６．林、上、下，显、吕； ７．答案不惟一，如３． ８．图略． ９．四边形ＡＢＥＣ是轴对称图形．理由如下： 因为ＡＤ平分∠ＢＡＣ， 所以∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＥ． 在△ＡＢＥ和△ＡＣＥ中， 因为ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＥ，ＡＥ＝ＡＥ， 所以△ＡＢＥ≌△ＡＣＥ． 所以四边形ＡＢＥＣ是轴对称图形． １０．展开图形的周长为１４或１６或１８． 能力提高　１１．Ｂ． ５．２探索轴对称的性质 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ；　３．Ｄ；　４．相互垂直； ５．１２０°；　６．１２． ７．（１）答案不惟一，如ＡＤ＝ＢＣ，ＯＤ＝ＯＣ，ＡＥ＝ＢＥ； （２）答案不惟一，如 ∠ＡＣＤ ＝∠ＢＤＣ，∠ＤＡＣ＝ ∠ＣＢＤ，∠ＡＤＯ＝∠ＢＣＯ． ８．（１）因为△ＡＢＣ中点Ａ，Ｂ，Ｃ关于直线ＭＮ的对称 点分别为点Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，ＡＣ＝８ｃｍ，Ａ′Ｃ＝１２ｃｍ． 所以ＡＢ＝Ａ′Ｂ′，ＢＣ＝Ｂ′Ｃ′，Ａ′Ｃ′＝ＡＣ＝８ｃｍ． 所以△Ａ′Ｂ′Ｃ′的周长为：Ａ′Ｃ′＋Ｂ′Ｃ′＋Ａ′Ｂ′＝Ａ′Ｃ＋ ＡＣ＝１２＋８＝２０（ｃｍ）． （２）连接ＣＣ′，图略． △Ａ′ＣＣ′的面积为：１２Ａ′Ｃ·Ａ′Ｃ′＝４８（ｃｍ ２）． ９．由轴对称的性质，得 ∠ＡＥＦ＝∠ＤＥＦ，∠ＡＦＥ＝ ∠ＤＦＥ． 因为∠Ａ＝４８°，所以∠ＡＥＦ＋∠ＡＦＥ＝１８０°－∠Ａ ＝１３２°． 所以 ∠ＡＥＤ＋∠ＡＦＤ ＝２（∠ＡＥＦ＋∠ＡＦＥ）＝ ２６４°． 能力提高　１０．图略． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｂ Ａ Ｄ Ｄ Ｂ Ｂ Ｂ 二、９．ｌ４；　１０．ＢＯＯＫ；　１１．３５°；　１２．１６； １３．２１：０５；　１４．２或３或４． 三、１５．（１）有２条对称轴；　（２）有１条对称轴； （３）有１条对称轴，图略． １６．图略． １７．相等的线段：ＡＢ＝ＡＥ，ＣＢ＝ＤＥ，ＣＦ＝ＤＦ． 相等的角：∠Ｂ＝∠Ｅ，∠Ｃ＝∠Ｄ，∠ＢＡＦ＝∠ＥＡＦ， ∠ＡＦＣ＝∠ＡＦＤ． １８．因为 △ＡＯＰ与 △ＡＯＰ１关于 ＯＡ对称，所以 ∠ＰＯＡ＝∠Ｐ１ＯＡ． 因为点Ｑ在ＯＡ上，所以ＰＱ＝Ｐ１Ｑ． 同理，得ＰＲ＝Ｐ２Ｒ，∠ＰＯＢ＝∠Ｐ２ＯＢ． （１）因为Ｐ１Ｐ２ ＝１０ｃｍ，所以△ＰＱＲ的周长为：ＰＱ ＋ＰＲ＋ＱＲ＝Ｐ１Ｑ＋Ｐ２Ｒ＋ＱＲ＝Ｐ１Ｐ２ ＝１０ｃｍ． （２）因为∠ＡＯＢ＝４５°，所以∠Ｐ１ＯＰ２ ＝∠Ｐ１ＯＡ＋ ∠ＰＯＡ＋∠