专题02 平面向量范围、最值问题与综合问题（知识梳理+专题过关）-2021-2022学年高一数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

专题02平面向量范围、最值问题与综合问题 【知识梳理】 知识点一．平面向量范围与最值问题常用方法： 1．定义法 第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步:得出结论 2．坐标法 第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步: 将平面向量的运算坐标化 第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 3．基底法 第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 4．几何意义法 第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹 第二步: 根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 知识点二．极化恒等式 1．平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： （1） （2） 1. （2）两式相加得： 2．极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 （1）平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的。 （2）三角形模式：（M为BD的中点） A B C M 知识点三．矩形大法 矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等。 知识点四．等和线 1．平面向量共线定理 已知，若，则三点共线；反之亦然。 2．等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 （1）当等和线恰为直线时，； （2）当等和线在点和直线之间时，； （3）当直线在点和等和线之间时，； （4）当等和线过点时，； （5）若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； 知识点五．奔驰定理 【奔驰定理】若O为内任一点，且，则 【专题过关目录】 考点1：基底法、几何法求范围与最值 考点2：定义法、坐标法求求范围与最值 考点3：等和线 考点4：极化恒等式 考点5：奔驰定理 【典型例题】 考点1：基底法、几何法求范围与最值 1．（2022·北京师大附中高一期中）在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出圆的半径，由，结合向量数量积运算律将的最大值转化为求的最大值，即可求出结论. 【详解】 由题意，设到的距离为，则， 故， 其中， 设的夹角为，， 当且仅当与反向或同向时取得端点值； 综上，的范围为. 故选：A． 2．（2022·陕西·长安一中高一期末）如图，在平面四边形ABCD，，，，．若点E为边上的动点，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由已知条件可得，设，则，由，展开后，利用二次函数性质求解即可. 【详解】 ∵ , 因为，，， 所以， 连接，因为， 所以≌， 所以， 所以，则， 设，则， ∴，，，， 所以， 因为， 所以. 故选：A. 3．（2022·重庆市育才中学高一阶段练习）如图所示，点是正三角形外接圆圆上的动点，正三角形的边长为，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 将变形为， 根据平面向量数量积和模的概念分别求出和， 当同向和反向时的取得最值，计算即可. 【详解】 ， 因为正三角形的边长为12，所以， ， 所以， 当同向时， 此时取最大值为， 当反向时， 此时取最小值为， 综上，的取值范围是. 故选：C. 4．（2022·江苏徐州·高一期中）八卦是中国古代的基本哲学概念，八卦文化是中华文化的核心精髓，八卦图（图1）的轮廓为正八边形ABCDEFGH（图2），其中是正八边形的中心，点在八条边上运动．若，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意可知，利用余弦定理可得，余弦的二倍角可知，可知，又，设，可知取最大值时，即取最大值，即取最大值，根据投影的概念，结合正八边形的性质，可知延长与，延长线交于点，此时三角形为等腰直角三角形，由此最大时，此时，由此即可求出结果. 【详解】 因为八卦图为正八变形，故中心角为， 因为，所以， 即，即， 又，所以， 所以， 因为， 又为定值，所以取最大值时，即取最大值， 设， 所以，所以取最大值时，即取最大值， 又表示向量在向量上的投影，故取最大值时，点不可能在路径上（在此路径上为钝角），所以点在路径上， 延长与，延长线交于点，则三角形为等腰直角三角形，且， 所以，即 所以当点在上时，向量在向量上的投影最大，即最大， 即， 所以 所以. 故答案为：. 【点睛】 关键点点睛：本题的关键点是根据，由于为定值，可知取最大值时，即取最大值，根据投