专题21.6 一元二次方程解法-配方法（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题21.6 一元二次方程解法-配方法（知识讲解） 【学习目标】 1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤； 3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力. 【要点梳理】 知识点一、一元二次方程的解法---配方法 在比较大小中 二 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解； 1、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开； 2、把常数项移到等号的右边； 3、方程两边都除以二次项系数； 4、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； 5、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 知识点二、配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 特别说明： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同时对后期学习二次函数有着重要的作用，同学们一定要把它学好． 　【典型例题】 类型一、用配方法解一元二次方程 1. 用配方法解方程：． 【答案】，， 【分析】将原方程二次项系数化1，用配方法求解. 解：               ∴ ， 【点拨】本题考查一元二次方程的解法，配方法是常用方法，掌握配方法解方程的步骤是解答此题的关键. 举一反三： 【变式1】 用配方法解方程：． 【答案】，． 【分析】利用配方法得到（x﹣）2=，然后利用直接开平方法解方程即可． 解：x2﹣x=﹣， x2﹣x+=﹣+， （x﹣）2= x﹣=±， 所以x1=，x2=1． 【点拨】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 【变式2】 用配方法解方程：2x2－4x－1＝0. 【答案】x1＝＋1，x2＝1－ 解：根据配方法解方程即可． 移项得，2x2-4x=1， 将二次项系数化为1得，， 配方得，x2-2x+1=+1，， ∴， ∴． 类型二、配方法在代数中的应用 2．我们在学习一元二次方程的解法时，了解到配方法．“配方法”是解决数学问题的一种重要方法．请利用以上提示解决下题： 求证： 不论取任何实数，代数式的值总是正数 当为何值时，此代数式的值最小，并求出这个最小值． 【答案】(1)证明见分析；（2）4. 【分析】（1）此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算． （2）根据（1）4m2-4（m+1）+9=（2m-1）2+4得出m取时代数式的值最小，最小值是4． 解：（1） ； ∴不论取任何实数，代数式的值总是正数．由（1）得： 时，此代数式的值最小，这个最小值是：． 【点拨】此题考查了配方法的应用，解题时要根据配方法的步骤进行解答，注意在变形的过程中不要改变式子的值． 举一反三： 【变式1】 我们可以用以下方法求代数式的最小值． ∵ ∴ ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x的值； (3)求证：无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数． 【答案】(1)-2 (2)当时，有最大值 (3)证明见分析 【分析】（1）根据题中所给方法进行求解即可； （2）由题中所给方法可得，然后问题可求解； （3）由题意可得，进而问题可求解． (1) 解：由题意得： ， ∵ ∴ ∴当时，有最小值． (2) 由题意得：， ∵ ∴ ∴当时，有最大值． (3) 由题意得： = =； ∵ ∴， ∴无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数． 【点拨】本题主要考查配方法的应用及完全平方公式，熟练掌握配方法及完全平方公式是解题的关键． 【变式2】 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式y2+4y+8的最小值． 解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4 ∵（y+2）2≥0 ∴（y+2）2+4≥4 ∴y2+4y+8的最小值是4． （1）求代数