专题21.1 一元二次方程（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题21.1 一元二次方程（知识讲解） 【学习目标】 1． 理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义；会把一元二次方程化为一般形式； 2．会把一元二次方程化为一般形式； 3．会用整体思想及一元二次方程的解求代数式的值. 【要点梳理】 要点一、一元二次方程的有关概念 1．一元二次方程的概念： 　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 特别说明： 识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2．一元二次方程的一般形式： 　　一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 特别说明： 　　(1)只有当时，方程才是一元二次方程； 　　(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 3.一元二次方程的解： 　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 4.中考热点：通过方程的解和整体思想降次求代数式的解。 【典型例题】 类型一、一元二次方程的定义 1． 已知关于的方程是一元二次方程，求的值． 【答案】． 【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案． 解：由关于的方程是一元二次方程，得 ．解得． 【点拨】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 举一反三： 【变式1】 若方程是关于的一元二次方程，求m的值． 【答案】． 【分析】根据一元二次方程的定义得出m2=2，再求出答案即可． 解：根据题意得 解得 所以当方程是关于的一元二次方程时，． 【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程． 【变式2】已知关于x的方程（k﹣1）（k﹣2）x2+（k﹣1）x+5=0． 求：（1）当k为何值时，原方程是一元二次方程； （2）当k为何值时，原方程是一元一次方程，并求出此时方程的解． 【答案】（1）k≠1且k≠2；（2）k=2， x=﹣5． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到（k-1）（k-2）≠0，由此求得k的值； （2）根一元一次方程的定义得到k-2=0，由此得到该方程为x+5=0，解方程即可． 解：（1）依题意，得（k﹣1）（k﹣2）≠0，解得k≠1且k≠2； （2）依题意，得（k﹣1）（k﹣2）=0，且k﹣1≠0，解得k=2. 此时该方程为x+5=0，解得x=﹣5． 【点拨】考查了一元一次方程、一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件． 类型二、一元二次方程的一般形式 2．将下列方程化成一元方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． ；                  ； ；                              ． 【分析】（1）移项得，根据二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可；（2）移项得，然后根据二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可；（3）原方程整理为，然后根据二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可；（4）原方程整理为，然后根据二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可． 解：由原方程得到：， 所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为：； 由原方程得到：， 所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为：； 由原方程得到：， 所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为：； 由原方程得到：， 所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为：． 【点拨】本题考查了一元二次方程一般式：ax2+bx+c=0（a≠0），a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项． 举一反三： 【变式1】已知关于的一元二次方程． 求的取值范围； 已知是该方程的一个根，求的值，并将原方程化为一般形式，写出其二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】（1）；（2）二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得出k+3≠0，求出即可； （2）把x=-2代入方程，即可求出k，再把k的值代入即可． 解：∵方程是一元二次方程， ∴， 即； 把代入方程得：， 解得：， 代入方程得：， 即， 故二次项系数是，一次项