2 第一章 第二节 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词（word教参）-2023高考数学【金版新学案】大一轮复习讲义·高三总复习（人教版 安徽 云南）

第二节　充分条件与必要条件、全称量词与存在量词 课程标准 考向预测 1．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义． 2．理解性质定理与必要条件、判定定理与充分条件、数学定义与充要条件的关系． 3．理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 考情分析：含有一个量词的命题的否定和充分必要条件的判定是高考的重点，一般多与集合、函数、不等式、立体几何结合，考查考生的推理能力，考查形式以基础题为主，低档难度． 学科素养：通过全称量词命题与存在量词命题的否定考查数学抽象的核心素养；由充分、必要条件的判断考查逻辑推理的核心素养． 1．充分条件、必要条件与充要条件 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇒/p p是q的必要不充分条件 p⇒/q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇒/q且q⇒/p [提醒]　不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题． 2．全称量词命题和存在量词命题 (1)全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 ∃ (2)全称量词命题、存在量词命题及其否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称量词命题 对集合M中的所有元素x，r(x) ∀x∈M，r(x) ∃x∈M，¬r(x) 存在量词命题 存在集合M中的元素x，s(x) ∃x∈M，s(x) ∀x∈M，¬s(x) 1．充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件． (2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q，且q⇒r”⇒“p⇒r”或“p⇐q，且q⇐r”⇒“p⇐r”．　　 2．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写． (2)否定结论：对原命题的结论进行否定． 小题练1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，¬p(x)的真假性相反．(　　) (2)“全等三角形的面积相等”是特称命题．(　　) (3)若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件．(　　) (4)命题“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 小题练2．(必修第一册P31习题T3改编)命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是(　　) A．∃x0∈R，x＋x0≤0　 B．∃x0∈R，x＋x0<0 C．∀x∈R，x2＋x≤0 D．∀x∈R，x2＋x<0 B　[由全称命题的否定是特称命题知选项B正确．] 小题练3．(必修第一册P19例2改编)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2．] 小题练4．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是____________________． 答案：存在两个全等三角形的面积不相等 小题练5．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________条件． 解析：由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，则A＝B＋kπ，k∈Z．因为0<A<π，0<B<π，所以A＝B，故“A＝B”是“tan A＝tan B”的充要条件． 答案：充要 考点一　全称量词命题与存在量词命题 多维型 角度一　含一个量词的命题的否定 命题p：∀x∈(0，＋∞)，x≠x，则¬p为(　　) A．∃x0∈(0，＋∞)，x0＝x0 B．∀x∈(0，＋∞)，x＝x C．∃x0∈(－∞，0)，x0＝x0 D．∀x∈(－∞，0)，x＝x A　[由全称量词命题的否定为存在量词命题知，¬p为∃x0∈(0，＋∞)，x0＝x0，故选A．] 角度二　判断全称(存在)量词命题的真假 下列命题中的假命题是(　　) A．∀x∈R，3x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．∃x0∈R，lg x0<1 D．∃x0∈R，tan x0＝2 B　[当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确，故选B．] 角度三　命题中参数取值范围问题 已知命题“∀