专题1.1 菱形的性质与判定（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

专题1.1 菱形的性质与判定（知识讲解） 【学习目标】 1. 理解菱形的概念； 2. 掌握菱形的性质定理与判定定理； 3. 掌握求菱形的两种方法，利用等面积法求线段；利用菱形的对称称求最值； 【要点梳理】 要点一、菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 特别说明：：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.，菱形的定义也是判定菱形的方法。 要点二、菱形的性质 1.从边出发：菱形的四条边都相等； 2.从对角线出发：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 特别说明：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. 利用菱形是轴对称图形求几何最值问题。 （2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 要点三、菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1. 从边出发：（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）四条边相等的四边形是菱形. 2.从对角线出发：（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 特别说明：：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【典型例题】 类型一、利用菱形的性质求角 1．如图，是菱形的对角线，，（1）请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接，求的度数． 【答案】（1）见分析； （2）45° 【分析】 （1）分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可； （2）根据∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF计算即可； 解：（1）如图所示，直线EF即为所求； （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABD＝∠DBC∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C， ∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°， ∴∠C＝∠A＝30°． ∵EF垂直平分线段AB， ∴AF＝FB， ∴∠A＝∠FBA＝30°， ∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°． 【点拨】本题考查了线段的垂直平分线作法和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【变式1】如图，在菱形中，，，是对角线的中点，过点作 于点，连结．则四边形的周长为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知及菱形的性质求得∠ABD=∠CDB=30º，AO⊥BD，利用含30º的直角三角形边的关系分别求得AO、DO、OE、DE，进而求得四边形的周长. 解：∵四边形ABCD是菱形，是对角线的中点， ∴AO⊥BD ， AD=AB=4，AB∥DC ∵∠BAD=120º， ∴∠ABD=∠ADB=∠CDB=30º， ∵OE⊥DC， ∴在RtΔAOD中，AD=4 ， AO==2 ，DO=， 在RtΔDEO中，OE=，DE=， ∴四边形的周长为AO+OE+DE+AD=2++3+4=9+， 故选：B. 【点拨】本题考查菱形的性质、含30º的直角三角形、勾股定理，熟练掌握菱形的性质及含30º的直角三角形边的关系是解答的关键. 【变式2】如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F，垂足为点E，连接AF、AC，若∠DCB＝70°，则∠FAC＝______． 【答案】20° 【分析】由菱形的性质和等腰三角形的性质求出∠BAC和∠FAB的度数，即可解决问题． 解：∵EF是线段AB的垂直平分线， ∴AF＝BF， ∴∠FAB＝∠FBA， ∵四边形ABCD是菱形，∠DCB＝70°， ∴BC＝AB，∠BCA＝∠DCB＝35°，AC⊥BD， ∴∠BAC＝∠BCA＝35°， ∴∠FBA＝90°﹣∠BAC＝55°， ∴∠FAB＝55°， ∴∠FAC＝∠FAB﹣∠BAC＝55°﹣35°＝20°， 故答案为：20°． 【点拨】本题考查菱形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 类型二、利用菱形的性质求线段 2．如图，菱形中，作、，分别交、的延长线于点． （1）求证：； （2）若点恰好是的中点，，求的值． 【答案】（1）见分析；（2）. 【分析】 (1)由“”可证，可得； (2)由线段垂直平分线的性质可得． 解：(1)四边形是菱形， ∴， ∴， ∵、， ∴， ∴， ∴； (2)∵是中点，且， ∴直线为的垂直平分线， ∴. 【点拨】本题考查了菱