第02讲 根的判别式、根与系数关系-【暑假自学课】2022年新九年级数学暑假精品课（苏科版）

第02讲 根的判别式、根与系数关系 【学习目标】 1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（重点） 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（难点） 【基础知识】 一．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 二．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 【考点剖析】 一．根的判别式（共4小题） 1．（2022•东坡区校级模拟）一元二次方程2x2﹣7x﹣1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【分析】根据根的判别式公式，求该方程的判别式，根据结果的正负情况即可得到答案． 【解答】解：根据题意得： Δ＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣1） ＝49+8 ＝57 ＞0， 即该方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键． 2．（2022•兴化市模拟）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当a+b+c＝0时，方程有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（　　） A．b＝c≠a B．a＝b≠c C．a＝c≠b D．a＝b＝c 【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝b2﹣4ac＝0，再把b＝﹣（a+c）代入得到（a+c）2﹣4ac＝0，所以a＝c，b＝﹣2a，由于a≠0，则a≠b，从而可对各选项进行判断． 【解答】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝0， ∵a+b+c＝0， 即b＝﹣（a+c）， ∴（a+c）2﹣4ac＝0， ∴（a﹣c）2＝0， ∴a﹣c＝0，即a＝c， ∴b＝﹣2a， 而a≠0， ∴a≠b． 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 3．（2022•南京一模）若关于x的一元二次方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有两个相等的实数根，则c的最小值是 　　． 【分析】由方程有两个相等的实数根可得出Δ＝9（m﹣2）2﹣8c+4＝0，解之即可得出结论． 【解答】解：∵方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝9（m﹣2）2﹣8c+4＝0， ∴（m﹣2）2， ∵（m﹣2）2≥0， ∴0， ∴c的最小值是． 故答案为：． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 4．（2022•邗江区校级开学）已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长． 【分析】（1）通过计算Δ＝b2﹣4ac＝（k﹣1）2，由偶次方的非负性可证明结论； （2）由等腰三角形的性质可得该方程由两个相等的实数根，结合根的判别式可求解k值，再将k值代入方程，得到x2﹣4x+4＝0，解方程求出两腰的长为2，又已知底边是3，则根据三角形的周长公式即可求解． 【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4•（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0， ∴无论k取何值，方程总有实数根； （2）解：∵等腰三角形的底边长3， ∴另两边长即为等腰三角形的腰长， ∵另两边长恰好是这个方程的两根， ∴该方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4•（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2＝0， 解得k＝1， 将k＝1