6.3.1 平面向量基本定理（精品课堂）-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【精彩三年】课程探究与巩固课件PPT（人教版）浙江专用

浙江良品图书有限公司 精彩三年 课程探究与巩固 数学 必修第二册 第六章　平面向量及其应用 6．3　平面向量基本定理及坐标表示 6．3.1　平面向量基本定理 单击此处编辑母版文本样式 1 [课程目标] 1.理解平面向量基底的概念； 2.掌握平面向量基本定理，能用一组基底表示向量． 单击此处编辑母版文本样式 如果e1，e2是同一平面内的两个_______________，那么对于这一 平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 若e1，e2__________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向 量的一个基底． [研读](1)只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基 底，所以基底的选取不是唯一的； (2)零向量与任一向量都共线，因此零向量不能作为基底； (3)λ1，λ2是唯一的． 不共线向量 不共线 单击此处编辑母版文本样式 【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)平面内的基底是唯一的．(　　) (2)三角形的任意两条中位线上的非零向量可以作为基底．(　　) (3)平行四边形的任意两边上的非零向量可以作为基底．(　　) (4)若向量a，b不共线，且c＝2a－b，d＝3a－2b，则{c，d}能作 为基底．(　　) × √ × √ 单击此处编辑母版文本样式 【解析】 (1)平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底． (2)三角形的任意两条中位线相交，所以任意两条中位线上的非零向量不共线，可以作为基底． (3)平行四边形相对的两边上的非零向量不能作为基底． (4)设存在实数λ使得c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0. 由于a，b不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0，这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，故{c，d}能作为基底． 单击此处编辑母版文本样式 例1 如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么下列选项 中说法都不正确的是(　　) ①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示此平面内的所有向量； ②对于这一平面内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对 (λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数 λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)； B 单击此处编辑母版文本样式 ④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0. A．①②　　 B．②③　　 C．③④　　 D．②④ 【解析】 由平面向量基本定理可知，①④是正确的． 对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底 确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的． 对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0 时，这样的λ有无数个，故选B. 单击此处编辑母版文本样式 [规律方法] 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． 单击此处编辑母版文本样式 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2． 其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是____________．(写出所有满足条件的序号) 【解析】 对于③，4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)， 所以e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底． ①②④ 单击此处编辑母版文本样式 例2 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 [规律方法] 用基底表示向量的方法：将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解． 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 例3 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且 AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 [规律方法] (1)若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法 的三角形法则或平行四边形法则，结合数乘运算找到所求向 量与基底的关系； (2)若题目中没有给出基底，常结合已知条件先寻找一组从同一 点出发的两个不共线向量作为基底，而后用上述方法求解． 单击此处编辑母版文本