专题07 立体几何截面12种归类-【巅峰课堂】2021-2022学年高一数学下学期热点题型归纳与变式演练(人教A版2019必修第二册)

专题07 立体几何截面12种归类 目录 一、热点题型归纳 1 【题型一】 截面的基本功1：相交线法 1 【题型二】 截面的基本功2：平行线法 5 【题型三】 综合做法 8 【题型四】 圆柱、圆锥截面 12 【题型五】 “动点”型截面 14 【题型六】 截面与直线（面）平行 18 【题型七】 截面与直线（面）垂直 21 【题型八】 截面面积与周长 24 【题型九】 球截面 28 【题型十】 截面与角度 30 【题型十一】截面与最值 33 【题型十二】截面大题综合 35 二、最新模考题组练 40 【题型一】 截面的基本功1：相交线法 【例1】基础模型：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等学生完全理解了，再改成任意等分点。做出过三E,F,C1点的截面 特征：1、三点中，有两点连线在表面上。本题如下图是EF（这类型的关键）；2、“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以。最后处有解释。 方法一：以“第三点”所在的表面中，，剔除掉与EF所在的表面平行，寻找合适的表面来做交线 如下图，符合的有c1的表面有三个，红色的和EF平行而不会相交，去掉，可供选择的是上表面（蓝色）或者右表面（绿色的）， 先用上表面（红色的）来做： 1、 所以，先补出扩展EF直线所在的前侧面。如左下第一图开始。并延长EF交A1B1于G 2、 此时G也在上表面了，连接GP，出来与棱A1D1交点H. 3、 连接HB，则的如右图的截面。 再用右表面绿色的来做： 1、 则发现，右边面和EF相交于前侧面下方，如左下第一图开始，延长EF交C1C于I 2、 此时I也在右表面了，连IC1交棱CB于J. 3、 连接FJ，则出右图的截面。 最终，两个合在一起，就是如图的截面。以上过程，与EF是否中点，几何体是否正方体无挂具体的G,H,I,J都可以通过对应的E、F几等分点以及几何体长宽高的不同变化来计算出来，这个几何体也不一定是长方体，还可以是斜棱柱，都不影响这个作图。 【例2】如图，在正方体中，、、、分别是所在棱的中点，则下列结论不正确的是（ ） A．点、到平面的距离相等； B．与为异面直线 C．； D．平面截该正方体的截面为正六边形 【答案】B 【分析】利用中点的性质可判断A选项的正误；利用三角形全等可判断B选项的正误；利用余弦定理可判断C选项的正误；确定截面与各棱的交点以及截面多边形边长与各角的大小，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，为的中点，故点、到平面的距离相等，A对； 对于B选项，延长、交于点，延长、交于点， 因为，为的中点，则，，， 所以，，则，同理可知，则， 即点、重合，故、相交，B错； 对于C选项，设正方体的棱长为， 则，同理，所以，为等边三角形， 因为， 由余弦定理可得， 所以，，故，则，C对； 对于D选项，设平面分别交棱、于点、， 因为平面平面，平面平面，平面平面，则， 因为、分别为、的中点，则， 因为，，故四边形为平行四边形，则，， 为的中点，则为的中点，同理可知为的中点， 所以，、、、、、分别为棱、、、、、的中点， 由勾股定理可知六边形的边长为，且， 同理易知， 故六边形为正六边形，D对. 故选：B. 【例3】已知正方体的棱长为2，若，分別是的中点，作出过，，三点的截面. 【答案】图象见解析 【详解】 【例4】如图，正方体中，点，，分别是，的中点，过点，，的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，过点，，的截面下方几何体转化为一个大的三棱锥，减去两个小的三棱锥，上方部分，用总的正方体的体积减去下方的部分体积即可. 【详解】作直线，分别交于两点，连接分别交于两点， 如图所示， 过点，，的截面即为五边形 ， 设正方体的棱长为， 因为点，，分别是，的中点。所以，即， 因为，所以 则过点，，的截面下方体积为：， ∴另一部分体积为，∴.故选：C. 【题型二】 截面的基本功2：平行线法 【例1】基础模型：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等学生完全理解了，再改成任意等分点。做出过三E,F,C1点的截面 特征：1、三点中，有两点连线在表面上。本题如下图是EF（这类型的关键）；2、“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以。最后处有解释。 方法二：平行线法。 本题用平行线法，并不太快捷，不过也成立。 平行线法特征： 有两点连线在表面：EF，在前侧面 方