专题3 解三角形-【满分冲刺】2021-2022学年高一数学下学期期末必考重点题型技法突破（苏教版2019必修第二册）

解三角形 ★★★★★★期末导航★★★★★★ ★★★★★★知识回顾★★★★★★ 1.正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可 以变形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题． 2. 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余 弦定理可以变形：cos A＝，cos B＝，cos C＝. 3.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)， 并可由此计算R、r. 4.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 5 实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)． (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值． ★★★★★★掌握题型★★★★★★ 题型一 利用正余弦定理解三角形 【例1】在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°. (1)求边长a； (2)求AB边上的高CD的长． 【例2】(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C. (1)求A； (2)若a＋b＝2c，求sin C. 【跟踪训练】 1．已知△ABC中的某些条件(a，b，c和A，B，C中至少含有一条边的三个条件)求边长时可用公式a＝，b＝，c＝，a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C. 2．已知△ABC的外接圆半径R及角，可用公式a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. [提醒] 已知△ABC的两边及其一边的对角求边时可用正弦定理，但要对解的个数作出判断，也可用余弦定理解一元二次方程求得． 涉及解三角形中的最值(范围)问题时若转化为边求解可利用基本不等式或二次函数；若转化为角求解可利用三角函数的有界性、单调性． 1．已知△ABC中某些条件求角时，可用以下公式sin A＝，sin B＝，sin C＝，cos A＝，cos B＝，cos C＝. 2．已知△ABC的外接圆半径R及边，可用公式sin A＝，sin B＝，sin C＝. [提醒]　(1)注意三角形内角和定理(A＋B＋C＝π)的应用． (2)解三角形中经常用到两角和、差的三角函数公式． 题型二 判断三角形形状 【例3】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　) A．锐角三角形　　　　 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【例4】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【方法技巧】 [解题技法] 1．判定三角形形状的2种常用途径 2．判定三角形的形状的注意点 在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 【跟踪训练】 1．在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 2．[在△ABC中，已知＝且还满足①a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)；②bcos A＋acos B＝csin C中的一个条件，试判断△ABC的形状，并写出推理过程． 题型三 三角形面积问题 【例5】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin＝bsin A. (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围． 【方法技巧】 1．求三角形面积的方法 (1)若三角形中已知一个角(角的大小