精品解析：河南省商丘市第一高级中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题

商丘市一高2021—2022学年第二学期期中考试 高一数学试卷 命题人： 审题人 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1. 若复数z满足，则复数z的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 以下说法正确是（ ） A. 若（为实数），则必为零 B. 若，，则 C. 共线向量又叫平行向量 D. 若和都是单位向量，则 3. 给出下列四个命题： ①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱； ②若直线平面，平面，则； ③若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行于该平面； ④异面直线a，b不垂直，则过a的任平面与b都不垂直．其中正确命题是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 4. 的内角A，B，C的对边是a，b，c，若的面积为，则C的大小（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，则向量在方向上投影向量为（ ） A B. C. D. 6. 在正方体中，棱长为3，E为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（ ） A B. C. D. 7. 如图，扇形的半径为1，且，点C在弧上运动，若则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c若，，，则下列结论不正确的是（ ） A B. C. 的面积为6 D. 9. 如图，在直三棱柱中，，，P为的中点，则直线与所成的角余弦值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知三棱锥中，平面，，点E，F分别是线段的中点，直线相交于点G，则过点G的平面与截三棱锥的外接球O所得截面面积的取值范围为（ ） A. B. C D. 11. 设平面向量满足，与的夹角为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 12. 在长方体中．，P是线段上的一动点，如下四个命题中，①与平面所成角的正切值的最大值是； ②平面；③的最小值为； ④以A为球心，为半径的球面与侧面的交线长是． 真命题共有几个（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 设i为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，其中a是实数，则______． 14. 已知向量，则的最大值为_________． 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．，若点D在边上，且，则的最大值是__________． 16. 已知正三棱锥，球O与三棱锥的所有棱相切，则球O的表面积为_________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．17题10分，18-22题每题12分解答应写出必要的文字说明、证明计算） 17. 已知． （1）求； （2）求． 18. 在锐角三角形中，角的对边分别为，且满足． （1）求角的大小； （2）若，且，求的值． 19. 如图，在多面体中，四边形是正方形，平面，平面，. （1）证明：平面平面. （2）若，求多面体的体积. 20. 在中，． （1）若点E满足，直线与交于点F，求的值． （2）若点D为线段上一动点，求的取值范围． 21. 如图，在三棱柱中，侧棱平面，，点D是的中点． （1）求证：； （2）求证：平面； （3）求三棱锥的体积． 22. 如图所示，某镇有一块空地，其中 km， km，.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中M、N都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在的一周安装防护网． （1）当 km时，求OM长度； （2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小； （3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 商丘市一高2021—2022学年第二学期期中考试 高一数学试卷 命题人： 审题人 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1. 若复数z满足，则复数z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算化简，再利用复数的相关概念求解. 【详解】解：因为复数z满足， 所以， 所以复数z的虚部为， 故选：B 2. 以下说法正确的是（ ） A. 若（为实数），则必为零 B. 若，，则 C. 共线向量又叫平行向量 D. 若和都是单位向量，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线向量、单位向量的定义、结合零向量的性质判断各选项的正误. 【详解】A：若，则为任