专题13 概率的综合运用-2021-2022学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题13 概率的综合运用 【考点预测】 1. 古典概型 （1）古典概型 考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型(classical models of probability)，简称古典概型． （2）概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率 P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 2.概率的基本性质 一般地，概率有如下性质： 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么 P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)． 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 3.事件A与B相互独立 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． （1）事件A与B是相互独立的，那么A与， 与B， 与也是否相互独立. （2）相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B). 【典型例题】 （多选题）例1．（2022·辽宁·凌源市实验中学高一阶段练习）中国篮球职业联赛（CBA）中，某男篮球运动员在最近几次比赛中的得分情况如下表: 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 没投中 100 55 18 27 记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】 【分析】 依题意事件与事件为对立事件，且事件，，互斥，根据和事件和对立事件的概率公式计算可得； 【详解】 解：由题意可知，，， 事件与事件为对立事件，且事件，，互斥， 所以， ， ， 故选：AC. （多选题）例2．（2022·江西·高一期中）连掷一枚质地均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记，则下列结论正确的是（       ） A．事件“”的概率与事件“”的概率相等 B．事件“”的概率小于事件“”的概率 C．事件“或”与事件“t是质数”是对立事件 D．事件“t是奇数”与事件“t是2的倍数”是对立事件 【答案】AD 【解析】 【分析】 用列表法列举基本事件，对A、B选项，以此利用古典概型的概率计算公式计算概率，进行判断；对C、D选项，利用对立事件的定义进行判断. 【详解】 列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 0 1 2 3 4 5 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 5 4 3 2 1 0 1 6 5 4 3 2 1 0 由表可知事件“”的概率是是，事件“”的概率是是，则A正确． 事件“”的概率是，事件“”的概率是，则B错误． 由题意可知t的所有可能取值为0，1，2，3，4，5． 因为1不是质数，所以事件“或”与事件“t是质数”是互斥事件，但不是对立事件，则C错误． 事件“t是奇数”与事件“t是2的倍数”是对立事件，则D正确． 故选：AD （多选题）例3．（2022·贵州·遵义四中高一期末）已知事件，且，，则（       ） A．如果，那么, B．如果与互斥，那么, C．如果与相互独立，那么， D．如果与相互独立，那么, 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据互斥事件的加法公式、独立事件的乘法公式以及对立事件的概率公式进行计算可得答案. 【详解】 对于A，如果，则， ，故A正确； 对于B，如果与互斥，则，，故B正确； 对于C，如果与相互独立，则，，故C不正确； 对于D，如果与相互独立，则，。故D正确 故选：ABD （多选题）例4．（2022·全国·高一）抛掷两枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：“至少一枚点数为1”，“两枚骰子点数一奇一偶”，“两枚骰子点数之和为8”，“两枚骰子点数之和为偶数”判断下列结论，正确的有（       ） A． B．B，D为对立事件 C．A，C为互斥事件 D．A，D相互独立 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据题意，写出各事件包含的基本事件，再依次讨