第六章 平面向量及其应用 章末知识梳理（学案）-【成才之路】2021-2022学年高中新教材高一下册数学必修第二册新课程同步学习指导（人教版）

数学（必修·第二册 RJA） 　 　 由题意得 BM = 100,∠BCM = 15°,∠ABN = 45°,即CM = 100 tan 15° = B′C′, 所以 BN = B′A′ = B′C′·sin 45°sin 75° = 100 tan 15°· 2 2 sin 75° = 50 2·cos 15° sin 15°·sin 75° = 50 2 sin 15°. 所以 AN = BN = 50 2 6 - 2 4 = 273. 又 AQ =AA′ -CC′ =AN +NQ =AN + (BB′ -CC′) =373. 　 　 典例 3:设所需时间为 t 小时,则 AB = 10 3 t,CB = 10t,在 △ABC 中,根据余弦定理,得 AB2 = AC2 + BC2 - 2AC·BCcos 120°, 可得(10 3t) 2 = 102 + (10t) 2 - 2 × 10 × 10tcos 120°, 整理得 2t2 - t - 1 = 0,解得 t = 1 或 t = - 12 (舍去) . 所以护航舰需要 1 小时靠近货船. 此时 AB = 10 3,BC = 10, 在△ABC 中,由正弦定理得 BCsin ∠CAB = AB sin 120°, 所以 sin ∠CAB = BCsin 120°AB = 10 × 32 10 3 = 12 , 所以∠CAB = 30°,所以护航舰航行的方位角为 75°. 　 　 对点练习 3:如图所示. 设经过 t 小时两船在 C 处相遇,则在 △ABC 中,BC = at (海里),AC = 3 at (海 里),B = 90° + 30° = 120°, 由 BCsin ∠CAB = AC sin B,得 sin ∠CAB = BCsin BAC = at × sin 120° 3at = 3 2 3 = 12 , ∵ 0° <∠CAB < 90°,∴ ∠CAB = 30°, ∴ ∠DAC = 60° - 30° = 30°, ∴ 甲船应沿着北偏东 30°的方向前进,才能最快与乙船相 遇. 　 　 典例 4:如图,令∠ACD = α,∠CDB = β,在△CBD 中,由余弦 定理得 cos β = BD 2 + CD2 - CB2 2BD·CD = 202 + 212 - 312 2 × 20 × 21 = - 1 7 , ∴ sin β = 4 37 . 又 sin α = sin (β - 60°) = sin βcos 60° - sin 60°cos β = 4 37 × 1 2 + 3 2 × 1 7 = 5 3 14 , 在△ACD中, 21sin 60° = AD sin α,∴ AD = 21 × sin α sin 60° =15(km). 答:这个人再走 15 km 就可以到达 A 城. 　 　 对点练习 4:100 n mile 或 200 n mile　 如图,设基地位于 O 处,由题意知∠BAO = 30°,BO = 100,OA = 100 3,则在△ABO 中,由余弦定理,得 BO2 = BA2 + AO2 - 2BA·AOcos ∠BAO, 即 BA2 - 300BA + 20 000 = 0,解得 BA = 100 或 BA = 200, 即渔船 B 与救护船 A 的距离是 100 n mile 或 200 n mile. 课堂检测·固双基 1. C　 由余弦定理,得 |AB | = a2 + b2 - 2abcos C. 故选 C. 2. B　 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图如图. 知 α = β,故 选 B. 3. D　 由题意知,∠A =∠B = 30°, 所以∠C = 180° - 30° - 30° = 120°, 由正弦定理得, ABsin C = AC sin B,即 AB = AC × sin Csin B = 4 × sin 120° sin 30° = 4 3. 4. 32　 过 A 作 AE⊥CD(图略),垂足为 E,ED = AB = 24 米,则 AE = EDtan 60° = 24 3 = 8 3(米) . 在 Rt△ACE 中,CE = AE·tan 30° = 8 3 × 33 = 8(米), ∴ CD = CE + ED = 8 + 24 = 32(米) . 5. 如图所示,由题意,得∠ABC = 45° - 30° = 15°, ∠DAC = 60° - 30° = 30°. ∴ ∠BAC = 150°,∠ACB = 15°, ∴ AC = AB = 40 m,∠ADC = 120°,∠ACD = 30°. 在△ACD 中,由正弦定理,得 CD = sin ∠CADsin ∠ADC ×