第六章 章末复习课（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教A版必修第二册【步步高】学习笔记

章末复习课 　　　　　　　　 一、向量的线性运算 1．向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算，以及平面向量的基本定理、共线定理，主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参问题． 2．通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养． 例1　(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则2a－b等于(　　) A．(7，－2) B．(1，－2) C．(1，－3) D．(7,2) 答案　　A 解析　∵a＝(2,1)，b＝(－3,4)， ∴2a－b＝2(2,1)－(－3,4)＝(4,2)－(－3,4) ＝(4＋3,2－4)＝(7，－2)． (2)如图所示，已知六边形ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝a，＝b，＝c，则等于(　　) A．a＋b B．b－a C．c－b D．b－c 答案　D 解析　＝＝＝－＝b－c. 反思感悟　向量线性运算的基本原则 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面. 跟踪训练1　如图所示，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　) A. B. C. D．2 答案　B 解析　因为＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ(＋)＝λ＋μ(－＋) ＝(λ－μ)＋， 且＝＋，所以解得 所以λ＋μ＝，故选B. 二、向量的数量积运算 1．平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等． 2．通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养． 例2　(1)(多选)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，α，β∈(0，π)，且a⊥b，则下列结论正确的是(　　) A．α＝β B．α＝β＋ C．(a＋b)⊥(a－b) D．|a＋b|＝|a－b| 答案　CD 解析　∵a⊥b，∴a·b＝cos αcos β＋sin αsinβ＝0， 即cos(α－β)＝0， ∵α，β∈(0, π)，∴α－β＝±，故A，B错误． 又(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝1－1＝0， ∴(a＋b)⊥(a－b)，故C正确． (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2＝2， (a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝a2＋b2＝2，故D正确． (2)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝ . 答案　9 解析　因为＝＋＝＋， ＝－＝－＋， 所以·＝(4＋3)×(4－3)＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9. 反思感悟　(1)向量数量积的两种计算方法 ①当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ； ②当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (2)利用向量数量积可以解决以下问题 ①设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， a∥b⇔x1y2－x2y1＝0， a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b均为非零向量)； ②求向量的夹角和模的问题 设a＝(x1，y1)，则|a|＝. 两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量) cos θ＝＝. 跟踪训练2　已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为 ． 答案　　 解析　由⊥，知·＝0， 即·＝(λ＋)·(－) ＝(λ－1)·－λ2＋2 ＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0， 解得λ＝. 三、余弦定理、正弦定理 1．主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，判断三角形的形状、求三角形的面积，以及余弦定理、正弦定理简单的综合应用． 2．借助解三角形，培养逻辑推理、数学运算素养． 例3　在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan A)． (1)求角C； (2)若c＝2，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度． 条件①：△ABC的面积S＝4且B＞A； 条件②：cos B＝. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分． 解　(1)由题意及余弦定理，得2b2＝2bccos A·(1－tan A)． ∴b＝c(cos A－sin A)， 由正弦定理可得sin B＝sin C(cos A－sin A)， ∴sin(A＋C)＝sin Ccos A－sin Csin A， ∴sin Acos C＝－sin Csin A， 又sin A≠0， ∴tan C＝－1，又0<C<π， 解得C＝. (2)选择条件②，cos B＝， ∴sin B＝. ∵sin