第六章 习题课 平面向量中的最值与范围问题（word）-2021-2022学年高一新教材数学人教A版必修第二册【步步高】学习笔记

习题课　平面向量中的最值与范围问题 学习目标　会利用向量的定义及运算求解最值与范围问题． 导语　 平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量的夹角、系数的范围等等，解题思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合． 一、向量线性运算中的最值与范围问题 例1　如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，求＋的最小值． 解　因为在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1， 所以＝＋＝－， 所以＝m＋n ＝m＋n ＝＋n， 由P，B，C三点共线得， m－n＋n＝m＋n＝1(m，n>0)， 所以＋＝ ＝＋＋≥＋2 ＝＋＝(当且仅当3n2＝4m2时取等号)， 即＋的最小值为. 反思感悟　利用向量的概念及基本运算，将所求问题转化为相应的等式关系，然后用基本不等式求最值． 跟踪训练1　如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D.若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________． 答案　(－1,0) 解析　由点D是圆O外一点，可设＝λ(λ>1)， 则＝＋λ＝λ＋(1－λ). 又因为C，O，D三点共线，令＝－μ(μ>1)， 则＝－－(λ>1，μ>1)，所以m＝－，n＝－， 则m＋n＝－－＝－∈(－1,0)． 二、向量数量积的最值与范围问题 例2　在边长为1的正方形ABCD中，M为边BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是(　　) A. B. C. D．[0,1] 答案　C 解析　将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x，0)，0≤x≤1. 则M ，C(1,1)， 所以＝，＝(1－x，1)， 所以·＝·(1－x，1)＝(1－x)2＋. 因为0≤x≤1，所以≤(1－x)2＋≤， 即·的取值范围是. 反思感悟　建立适当的坐标系，将平面向量数量积的运算坐标化，然后利用二次函数，基本不等式等求最值或范围． 跟踪训练2　在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________． 答案　 解析　根据题意，可知DC＝1，·＝(＋)·(＋)＝(＋λ)·＝·＋·＋λ·＋·＝1＋＋－≥1＋2－＝，当且仅当λ＝时，等号成立． 三、向量模的最值问题 例3　向量a，b满足|a|＝1，a与b的夹角为，则|a－b|的最小值为________． 答案　 解析　|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 ＝1－2×1×|b|cos ＋|b|2 ＝|b|2－|b|＋1＝2＋≥， 所以|a－b|≥，当|b|＝时取得最小值． 跟踪训练3　已知|a＋b|＝2，向量a，b的夹角为，则|a|＋|b|的最大值为________． 答案　 解析　将|a＋b|＝2两边平方并化简得(|a|＋|b|)2－|a||b|＝4，由基本不等式得|a||b|≤2＝，故(|a|＋|b|)2≤4，即(|a|＋|b|)2≤，即|a|＋|b|≤，当且仅当|a|＝|b|＝时，等号成立，所以|a|＋|b|的最大值为. 四、向量夹角的最值问题 例4　已知|a|＝1，向量b满足2|b－a|＝b·a，设a与b的夹角为θ，则cos θ的最小值为________． 答案　 解析　∵|a|＝1，∴设a＝(1,0)，b＝(x，y)， ∴b－a＝(x－1，y)， 由2|b－a|＝b·a得，2＝x，则x>0， ∴4(x－1)2＋4y2＝x2， ∴y2＝－x2＋2x－1， ∴cos θ＝＝＝＝＝ ＝， ∴当＝1即x＝1时，cos θ取最小值. 反思感悟　将向量夹角的大小问题转化为夹角余弦值的大小，利用函数求最值或范围． 跟踪训练4　已知向量a，b满足a＝(t，2－t)，|b|＝1，且(a－b)⊥b，则a，b的夹角的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝0，a·b＝b2， cos〈a，b〉＝＝＝＝ ＝， 又因为2t2－4t＋8＝2[(t－)2＋2]≥2[(－)2＋2]＝4， 所以0<cos〈a，b〉≤，所以a，b的夹角的最小值为. 课时对点练 1．已知向量m＝(a－1,1)，n＝(2－b，2)(a>0，b>0)，若m∥n，则m·n的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．(0，＋∞) C．[2,4) D．(2,4) 答案　C 解析　因为m∥n，所以2a－