第十章 概率知识总结

第十章  概率

知识点一：有限样本空间与随机事件

1．随机试验的特点

(1)试验可以在相同条件下重复进行；

(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；

(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．

2.有限样本空间：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，用ω表示，全体样本点的集合称为试验E的样本空间，用Ω表示，称样本空间Ω＝{ω1，ω2，ω3，…，ωn}为有限样本空间．

3.样本空间Ω的子集称为随机事件，称Ω为必然事件，称∅为不可能事件．

 

知识点二．事件的关系与运算

 

知识点三．概率的基本性质

性质1 对任意事件A，都有P(A)≥0；

性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1；P(∅)＝0；

性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；

性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；

性质5 如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)；

性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．

 

知识点四：古典概型

1.基本事件：

试验结果中不能再分的最简单的随机事件称为基本事件.

基本事件的特点：

(1)每个基本事件的发生都是等可能的.

(2)因为试验结果是有限个，所以基本事件也只有有限个.

(3)任意两个基本事件都是互斥的，一次试验只能出现一个结果，即产生一个基本事件.

(4)基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件都可以用基本事件的和的形式来表示.

2.古典概型的定义：

(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等；

我们把具有上述两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.

3.计算古典概型的概率的基本步骤为：

(1)计算所求事件A所包含的基本事件个数m；

(2)计算基本事件的总数n；

(3)应用公式计算概率.

4.古典概型的概率公式：

P(A)＝＝，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．

要点四：随机数的产生

知识点五.随机数的概念

随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的.它可以帮助我们模拟随机试验，特别是一些成本高、时间长的试验，用随机模拟的方法可以起到降低成本，缩短时间的作用.

2.随机数的产生方法：

一般用试验的方法，如把数字标在小球上，搅拌均匀，用统计中的抽签法等抽样方法，可以产生某个范围内的随机数.在计算器或计算机中可以应用随机函数产生某个范围的伪随机数，当作随机数来应用.

3.随机模拟法(蒙特卡罗法)：

用计算机或计算器模拟试验的方法，具体步骤如下：

(1)用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；

(2)统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；

(3)计算频率作为所求概率的近似值.

类型一  随机事件的概率

例1．某射手在相同条件下进行射击，结果如下：

    (1)问该射手射击一次，击中靶心的概率约是多少?

    (2)假设该射手射击了300次，估计击中靶心的次数是多少?

    【思路点拨】弄清频率和概率的含义及它们之间的关系是解题的关键．

    【解析】(1)由表可知概率约为0.9；

    (2)估计击中靶心的次数为300×0.9＝270(次)．

【总结升华】本题中利用概率知识估计击中靶心的次数是一种非常科学的决策方法．

类型二  互斥事件与对立事件

例2.某人在如图所示的直角边长为4m的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量 (单位:kg)与它的“相近”作物株数之间的关系如下表所示:

	1	2	3	4
	51	48	45	42

这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1 m．

                        

 

 (1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量:

	51	48	45	42
频数		4

 (2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率．

分析:根据题意找出产量对应的“相近”作物株数的频数，并利用加权平均数公式计算平均年收获量；至少为48 kg的概率是指与两种概率的和，利用互斥事件的概率公式求解．