10.2.2复数的乘法与除法-2021-2022学年高一数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第四册)

第十章 复数 10.2 复数的运算 10.2.2复数的乘法与除法 知识梳理 一、复数的乘法 1.定义 一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定： z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac-bd)+(ad＋bc)i 2.运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 乘法对加法的分配律 z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3 3.运算性质 zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1z2)n＝zz.(其中m，n∈N＋). 4.i的乘方运算性质 i4n＋1＝i；i4n＋2＝-1；i4n＋3＝-i；i4n＝1. 5.两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数) 模的平方. 二、复数的除法 1.定义；如果复数z2≠0，则满足zz2＝z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作z＝ (或z＝ )，z1称为被除数，z2称为除数. 2.意义 一般地，给定复数z≠0，称为z的导数，z1除以z2的商也可以看成z1与z2的倒数之积，因此可以利用“分母实数化”可以求出任意一个非零复数的倒数，以及任意两个复数的商(除数不能为0).当z为非零复数且n是正整数时，规定z0＝1，z－n＝ 3.复数倒数运算 设z＝a＋bi，则＝，且＝. 4.复数的除法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，＝＝＋i. 三、实系数一元二次方程在复数范围内的解集 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a ，b，c∈R且a≠0)在复数范围内总有解，而且 （1）当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根. （2）当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根； （3）当Δ＝b2－4ac＜0时，方程有两个互为共轭复数的虚数根. 常见考点 考点一 复数的乘法运算 典例1．复平面内表示复数的点位于（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】 由复数运算可得对应的点的坐标，由此可得结果. 【详解】 ，对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 变式1-1．已知i为虚数单位，复数在复平面内对应点的坐标为，则（       ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由题可得，然后利用复数的乘法运算即得. 【详解】 由题可得， ∴. 故选：B. 变式1-2．复数在复平面内对应的点位于（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 得出运算结果由复数的几何意义判断 【详解】 ，在复平面内对应的点位于第四象限． 故选：D 变式1-3．已知复数，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据共轭复数的定义求出，进而利用复数运算法则进行计算. 【详解】 由题意可知，，所以． 故选：B 考点二 复数的除法运算 典例2．复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点在（       ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】D 【解析】 【分析】 化简 ，即可得到答案 【详解】 易知，所以复数对应的点为在第一象限， 故选：D 变式2-1．复数，则在复平面内对应的点是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 先计算求出，即可求出答案. 【详解】 因为，所以在复平面内对应的点是. 故选：B. 变式2-2．若i是虚数单位，则的虚部为（       ）． A．2 B．0.6 C．0.8 D．1 【答案】B 【解析】 【分析】 先化简复数，再求虚部即可. 【详解】 ，故虚部为0.6. 故选：B. 变式2-3．已知复数，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 应用复数的除法运算化简，进而写出其共轭复数. 【详解】 ，则． 故选：C． 考点三 根据复数的乘法运算结果求参数 典例3．已知i是虚数单位，若复数，其中，则等于（　　） A．1 B．5 C． D．13 【答案】B 【解析】 【分析】 根据复数相等求得的值，接着求解即可. 【详解】 因为复数， 所以即， 根据复数相等得到，解得， 所以， 故选：B. 变式3-1．已知复数的实部与虚部的和为12，则（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数的乘法运算化简复数，然后根据实部和虚部的定义求解即可. 【详解】 由复数的乘法运算可知，， 因为复数的实部与虚部的和为12，所以，解得，. 故选：B. 变式3-2．若复数（a，）满足，则（       ） A．， B．， C． D