4.4 幂函数（配套课件）-2021-2022学年高一新教材数学人教B版必修第二册【步步高】学习笔记

第四章　指数函数、对数函数与幂函数 §4.4　幂函数 1 学习目标 XUE XI MU BIAO 1.了解幂函数的概念. 2.掌握y＝xα 的图像与性质. 3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的 方法处理幂函数的有关问题. 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1 知识梳理 PART ONE 一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 提醒　幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量. 知识点一　幂函数的概念 5 1.幂函数的图像 在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝x－1的图像如图. 知识点二　幂函数的图像和性质 2.五个幂函数的性质   y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) ________ 值域 R _________ R _________ ________ 奇偶性 ______ _______ _______ _______ _______ ______ {x|x≠0} [0，＋∞) [0，＋∞) {y|y≠0} 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 在R上是______ 在[0，＋∞)上是 ，在(－∞，0]上是______ 在R上是______ 在 _______ 上是_____ 在(0，＋∞)上是 ，在(－∞，0)上是______ 公共点 (1,1) 增函数 增函数 增函数 [0，＋∞) 增函数 减函数 减函数 减函数 1.y＝－ 是幂函数.(　　) 2.当x∈(0,1)时，x2>x3.(　　) 3.y＝ 与y＝ 定义域相同.(　　) 4.若y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.(　　) 思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU × √ × √ 2 题型探究 PART TWO 例1　(1)(多选)下列函数为幂函数的是 A.y＝x3 B.y＝ C.y＝4x2 D.y＝x 一、幂函数的概念 √ √ 解析　B项为指数函数，C中的函数的系数不为1，AD为幂函数. (2)已知y＝(m2＋2m－2) ＋2n－3是幂函数，则m＝______，n＝___. －3或1 反思感悟 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 跟踪训练1　(1)已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b等于 解析　因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数， 所以a＝1，－b＋1＝0， 即a＝1，b＝1，则a＋b＝2. √ 解析　设f(x)＝xα(α为常数)， √ 例2　(1)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图像，已知n取±2，± 四个值，则对应于c1，c2，c3，c4的n依次为 二、幂函数的图像 √ 解析　根据幂函数y＝xn的性质， 当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭， √ (2)函数y＝ 的图像大致是图中的 解析　∵函数y＝ 是奇函数，且α＝ >1， ∴函数图像为B. 反思感悟 解决幂函数图像问题应把握的两个原则 (1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图像越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图像越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图像确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y＝x－1 或y＝ 或y＝x3)来判断. 跟踪训练2　(1)下图给出四个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是 A.①y＝ ，②y＝x2，③y＝ ，④y＝x－1 B.①y＝x3，②y＝x2，③y＝ ，④y＝x－1 C.①y＝x2，②y＝x3，③y＝x－1，④y＝ D.①y＝ ，②y＝ ，③y＝x2，④y＝x－1 √ 解析　②的图像关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项C，D， ①由图像知，在第一象限内，图像下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A. (2)函数f(x)＝ 的大致图像是 √ 又f(x)的定义域为(0，＋∞)，故排除选项D. 三、比较幂值的大小 例3　比较下列各组数中两个数的大小： 解　∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的， 解　∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的， (3) 与 . ∴ ，∴ . 反思感悟 比较幂值大小的方法