湖南省长沙市长郡中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题

长郡中学2021-2022学年度高二第二学期期中考试 数学 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 在复平面内，复数z对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，，若，则实数x的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 5. 为庆祝中国共产党成立100周年，某市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，践行社会主义路线，某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人，欲采用分层抽样法组建一个36人的高一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取高三（ ） A. 10人 B. 12人 C. 14人 D. 16人 6. 设，，，则（ ） A B. C. D. 7. 一只袋内装有2个白球，8个黑球，所有的球除颜色外完全相同，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，则取到2个白球的概率等于（ ） A. B. C. D. 8. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对得2分） 9. 若，，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则以下结论恒成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知随机变量，则下列命题正确的（ ） A. B. C. D. 若甲投篮命中率为，则X可以表示甲连续投篮6次的命中次数 12. 如图，在正四棱锥中，，下列结论中正确的有（ ） A. 与是异面直线 B. 平面 C. 平面 D. 二面角的大小为 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 的展开式中项的系数为___． 14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数__________． ①； ②； ③任取，，，． 15. 函数的部分图象如图所示，轴，则__________，__________． 16. 冰墩墩（Bing Dwen Dwen）是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将6个不同的冰墩墩分配到甲乙丙丁4人，每人至少分配1个冰墩墩，则不同的分配方案共有__________种．（用数字作答） 四、解答题（本题共6小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知，且的最小正周期为， （1）求的解析式； （2）求关于x的不等式的解集． 19. 已知函数 （1）若不等式的解集为空集，求m的取值范围 （2）若，的解集为，的最大值 21. 根据研究成果，146年前中国男性的平均身高为161.0厘米，女性为150.2厘米，为了了解146年来中国女性身高长高了多少，2022年，特地针对各地中国女性进行调查，我们了解到100个成年妇女的身高，如下表所示： 身高/cm 142 148 150 152 154 155 人数 2 4 4 3 9 8 身高/cm 157 160 162 165 168 170 人数 10 14 9 12 14 11 （1）计算上述样本的平均身高，据此估计146年来中国女性身高长高了多少？ （2）估计2022年中国女性身高的第50百分位数与众数； （3）通过互联网调查2022年中国女性身高，中国女性身高是否随着时代的发展而逐渐长高？请尝试解释说明． 23. 如图，在棱长为4的正方体中，E为的中点，F为AE的中点． （1）求证：平面BDF； （2）求三棱锥E-BDF体积． 25. 已知是定义在R上偶函数，当时，． （1）求的解析式； （2）求在区间上的值域． 27. 小红每天午餐都会选择一种肉类，她常吃的肉类有猪肉、牛肉，羊肉三种，已知小红当天午餐吃什么肉类且与前一天午餐吃什么肉类有关，在前一天午餐吃什么肉类的情况下，当天午餐吃什么肉类的概率如下表： 前一天午餐 当天午餐 猪肉 牛肉 羊肉 猪肉 0.5 0.2 0.3 牛肉 0.3 0.1 0.6 羊肉 0.3 0.6 0.1 （1）已知小红第一天午餐吃牛肉，则他第三天午餐吃什么肉类的可能性最大？ （2）已知小红午餐吃的肉类（100克）所含的能量如下表所示： 100克肉类 猪肉 牛肉 羊肉 能量/千焦 1654 795 828 求小红从第一天午