2022届北京市丰台区高考二模数学试卷

北京市丰台区2021—2022学年度第二学期综合练习（二） 高三数学 2022.04 第一部分 （选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．在复平面内，若复数对应的点的坐标为，则 （A） （B） （C） （D） 2．“”是“”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 3．函数是 （A）最小正周期为的偶函数 （B）最小正周期为的奇函数 （C）最小正周期为的偶函数 （D）最小正周期为的奇函数 4. 在的展开式中，常数项为 （A） （B） （C） （D） 5．已知两条不同的直线与两个不同的平面，则下列结论中正确的是 （A）若则 （B）若则 （C）若则 （D）若则 6．小王每天在6：30至6：50出发去上班，其中在6：30至6：40出发的概率为，在该时间段出 发上班迟到的概率为；在6：40至6：50出发的概率为，在该时间段出发上班迟到的概率为，则小王某天在6：30至6：50出发上班迟到的概率为 （A） （B） （C） （D） 7. 已知，则 （A） （B） （C） （D） 8．设等差数列的前项和为.若，则下列结论中正确的是 （A） （B） （C） （D） 9. 已知偶函数在区间上单调递减.若，则的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 10. 已知双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为.以线段为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，且点在第一象限，与另一条渐近线平行.若，则△的面积是 （A） （B） （C） （D） 第二部分 （非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知向量.若，则 ． 12. 已知抛物线，则抛物线的准线方程为 ． 13. 在△中，，则 ． 14. 在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，记为点到直线 的距离.当变化时，直线所过定点的坐标为 ；的最大值为 ． 15．如图，某荷塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）满足关系式：（为常数），记.给出下列四个结论： ①设，则数列是等比数列； ②存在唯一的实数，使得成立，其中是 的导函数； ③常数； ④记浮萍蔓延到所经过的时间分别为，则． 其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共13分） 如图，在正三棱柱中， ，为的中点， 平面平面. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值. 17.（本小题共14分） 已知数列的前项和为，在条件①、条件②、条件③ 这三个条件中选择一个作为已知． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设数列的前项和为.若对任意，不等式恒成立，求的最小值. 条件①：且； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18.（本小题共14分） 某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：在一不透明纸箱中有8张相同的卡片，其中4张卡片上印有“幸”字，另外4张卡片上印有“运”字. 消费者从该纸箱中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片上都印有同一个字，则获得一张10元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片上印有同一个字，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励. （Ⅰ）求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率； （Ⅱ）记随机变量为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付3元.若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由. 19.（本小题共15分） 已知函数. （Ⅰ）当时，求的单调区间和极值； （Ⅱ）当时，求证：； （Ⅲ）直接写出的一个取值范围，使得恒成立. 20.（本小题共15分） 已知椭圆（）经过点，到椭圆的两个焦点的距离和为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设，为的中点，作的平行线与椭圆交于不同的两点，，直线与椭圆