5.3.2对数的运算(导学案）-【中职专用】高一数学同步精品课堂（高教版2021·基础模块下）

5．3.2　对数的运算 预习探究： 知识点1 　对数的运算性质 条件 a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0 性质 loga(MN)＝logaM＋logaN loga＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM(n∈R) 思考1：在积的对数运算性质中，三项的乘积式loga(MNQ)是否适用？你能得到一个怎样的结论？ 提示：适用，loga(MNQ)＝logaM＋logaN＋logaQ，积的对数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积． 知识点2 　换底公式 若a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1，则有logab＝． 思考2：对数的换底公式用常用对数、自然对数表示什么形式？ 提示： logab＝，logab＝. 考点类析： 题型一　对数的运算性质的应用 例1 用logax，logay，logaz表示： (1)loga(xy2)；(2)loga(x)；(3)loga. [解析]　(1)loga(xy2)＝logax＋logay2＝logax＋2logay. (2)loga(x)＝logax＋loga＝logax＋logay. (3)loga＝loga＝[logax－loga(yz2)] ＝(logax－logay－2logaz)． [归纳提升]　对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制． 【变式】 用logax、logay、logaz表示下列各式： (1)loga(x3y5)；　(2)loga. [解析]　(1)loga(x3y5)＝logax3＋logay5 ＝3logax＋5logay. (2)loga＝loga－loga(yz) ＝logax－(logay＋logaz) ＝logax－logay－logaz. 题型二　利用对数的运算性质化简、求值 例2　(1)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2； (2)log535－2log5＋log57－log51.8. [分析]　熟练掌握对数的运算性质并能逆用性质是解题的关键．进行对数运算，要注意法则的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案． [解析]　(1)原式＝(lg5)2＋(2－lg2)lg2 ＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2 ＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2 ＝(lg5＋lg2)·lg5＋lg2 ＝lg5＋lg2＝1. (2)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5 ＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2. [归纳提升]　利用对数运算性质化简与求值的原则和方法 (1)基本原则： ①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法： ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 【变式】 计算下列各式的值： (1)lg－lg＋lg； (2)lg25＋lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2. [解析]　(1)法一：原式＝(5lg2－2lg7)－×lg2＋(2lg7＋lg5) ＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5 ＝lg2＋lg5＝(lg2＋lg5) ＝lg10＝. 法二：原式＝lg－lg4＋lg7 ＝lg ＝log(·)＝lg＝. (2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5×(2lg2＋lg5)＋(lg2)2 ＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2 ＝2＋1＝3. 题型三　换底公式的应用 例3　(1)计算log2·log3·log5； (2) log927． [分析]　(1)对数的底数不同，如何将其化为同底的对数？ (2)等式左边前一个对数的真数是后面对数的底数，利用换底公式很容易进行约分求解m的值． [解析]　(1)原式＝·· ＝＝－12. (2)log927＝＝＝＝. [归纳提升]　关于换底公式的用途和本质： (1)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法． (2)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如logab＝；logaan＝n，logambn＝logab；lg2＋lg5＝1等，将会达到事半功倍的效果． 【变式】 计算下列各式的值： (1)log89·log2732； (2)log2·log3·log5. [解析]　(1)log89·log2732＝·＝·＝·＝. (2)log2·log3·log5 ＝log25－3·log32－5·log53－1 ＝－3log25·(－5log32)·(－log53) ＝－15··· ＝－15.