第22章 二次函数（二）二次函数与一元二次方程 讲义 2021—2022学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数（二） 二次函数与一元二次方程 知识点一 二次函数与一元二次方程的关系 要点1.一元二次方程是二次函数的函数值y=0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标. 求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y=0，求ax2+bx+c=0中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程. 要点2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根.因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数；二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况，它们的关系如下表： 二次函数图象与x轴的位置关系 a＞0 （示意图） a＜0 （示意图） 一元二次方程 根的情况 b2-4ac＞0 抛物线与x轴有两个公共点 此时称抛物线与x轴相交 有两个不相等的实数根： b2-4ac=0 抛物线与x轴有一个公共点 此时称抛物线与x轴相切 有两个相等的实数根： b2-4ac＜0 抛物线与x轴没有公共点 此时称抛物线与x轴相离 无解 没有实数根 要点3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与x轴的交点的个数由∆=b2-4ac的值来确定的. （1）当二次函数的图象与x轴有两个交点时，∆=b2-4ac＞0，方程有两个不相等的实根； （2）当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，∆=b2-4ac=0，方程有两个相等的实根； （3）当二次函数的图象与x轴没有交点时，∆=b2-4ac＜0，方程没有实根. 课堂练习 1.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2-4x的图象与x轴的交点坐标是（ ） A.(0，0) B.(4，0) C.(4，0)、(0，0) D.(2，0)、(-2，0) 2.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是（ ） A.0 B.1 C.2