第二编 专题2 第5讲 利用导数研究不等式问题-【金版教程】2022高考数学大二轮专题复习冲刺方案课件（新高考）

金版教准·至真至城 SINCE 2000 第二编 突破主干知识专题 专题二函数与导数， 大题专讲 第5讲 利用导数研究不等 式问题 「考情研析」以导数为工具，通过研究函数的单调性、极值和最值， 求解不等式问题是高考的热点题型， 核心知识回顾 PART ONE 1.函数不等式的类型与解法 (I)Vx∈D,x)≤k台fx)max≤k;3xo∈D,xo)≤k台fx)min≤k. (2)Vx€D,x)k台几x)上确界≤k;3xo∈D,孔xo)Kk台几x)下确界≤k, (3)Vx∈D,fx)≤g(x)∈几x)max≤g(x)mim;3xo∈D,xo)≤g(xo)片x)min≤ g()max. 2.含两个未知数的不等式（函数）问题的常见题型及具体转化策略 (1)Vx1∈[a,b],x2∈[c,d,fx1)>g(x2)台x)在[a,b]上的最小值>g(x) 在[c,上的最大值. (2)3x∈[a,b],x2∈[c,,x1)>g(x2)→x)在[a,b]上的最大值>g(x) 在[c,d上的最小值 (3)Vx1∈[a,b],3x2∈[c,d,x1)>g(x2)台x)在[a,b]上的最小值 >g(x)在[c,d上的最小值. (4)3x1∈[a,b],Vx2∈[c,d,x1)>g(x2)台x)在[a,b]上的最大值 >g(x)在[c,d上的最大值. (5)3x1∈[a,b],当x2∈[c,d时，x1)=g(x2)台x)在[a,b]上的值域与 g(x)在[c,d上的值域交集非空. (6)Vx1∈[a,b],3x2∈[c,d,x1)=g(x2)台fx)在[a,b]上的值域∈g(x) 在[c,d上的值域. (T)Vx2∈[c,],3x1∈[a,b],x1)=g(x2)台x)在[a,b]上的值域2g(x) 在[c,d上的值域. 3.两个常用不等式 (1)lnx≤x-1.(2)e*≥x+1. 2 热点考向探究 PART TWO 考向1利用导数证明不等式 例1(2021·唐山二模)已知函数fx)=lnx-x+a. (1)若fx)≤0，求a的取值范围； 2-m+0 1 (2)若fx)有两个零点m,n,且m<n,证明：n+ 解(1Y)的定义域为0，+m,f)=}-1, 当0<x<1时，f'x)>0;当x>1时，f′x)<0,所以f(x)在(0,1)上单调递 增，在(1，+∞)上单调递减 所以当x=1时，f(x)取得最大值f(1)=a-1. 依题意，得a-1≤0，故a≤1. 解 (2)证明：由(1)知，a>1,0<m<1<n,且lnm-m+a=0,lnn-n+a=0. 所以a=m-lnm=n-lnn. 所以e-ge n 议如-w+-m+ 2e"-1-m2-1 m m 2正--+2' 设g(x)=2e-1-x2-1,则g′x)=2e-1-2x, 解 由(1)知，ln x≤x-1，当且仅当x=1时等号成立， 所以e-1≥x，当且仅当x=1时等号成立， 于是可得g′(x)≥0，即g(x)单调递增， 因此，当0<x<1时，g(x)<g(1)=0； 当x>1时，g(x)>g(1)=0. 所以2ea-1∠n≮10，2ea-1|m+0， <2e”-1<m+m 故n+A 解