第二编 专题2 第4讲 利用导数研究函数的零点问题-【金版教程】2022高考数学大二轮专题复习冲刺方案课件（新高考）

专题二　函数与导数. 大题专讲　第4讲　利用导数研究函数的零点问题 第二编　突破主干知识专题 「考情研析」以导数为工具，通过研究函数的单调性、极值和最值，求解函数零点或方程解的问题是高考的热点题型. 1 核心知识回顾 PART ONE 2 热点考向探究 PART TWO 考向1 利用导数讨论函数零点的个数 解 解 解 解 解 解 解 　 利用导数研究函数零点或方程根的方法 (1)通过极值(最值)判断零点个数的方法 借助导数研究函数的单调性、极值，通过极值的正负、函数的单调性判断函数图象的走势，从而判断函数零点的个数． (2)构造函数法研究函数零点 ①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区 间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解； ②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． 　 (2021·安庆一模)函数f(x)＝ex－2ax－a. (1)讨论函数的极值； (2)当a>0时，求函数f(x)的零点个数． 解　(1)f′(x)＝ex－2a， 当a≤0时，f′(x)＝ex－2a>0，f(x)在R上单调递增，无极值； 当a>0时，由f′(x)＝ex－2a>0， 得x>ln (2a)，f(x)在(ln (2a)，＋∞)上单调递增， 由f′(x)＝ex－2a<0， 得x<ln (2a)，f(x)在(－∞，ln (2a))上单调递减， 解 解 解 例2　(2021·岳阳一模)已知函数f(x)＝xex－aln x－ax＋a－e. (1)若f(x)为单调函数，求a的取值范围； (2)若f(x)仅有一个零点，求a的取值范围． 解 考向2 已知函数的零点个数求参数的取值范围 解 解 解 　 利用函数零点的情况求参数范围的方法 (1)分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝a与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解． (2)利用零点存在定理构建不等式求解． (3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解． 　 已知函数f(x)＝ex－ax2. (1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1； (2)若f(x)在(0，＋∞)内只有一个零点，求a的值． 解　(1)证明：当a＝1时， f(x)＝ex－x2，则f′(x)＝ex－2x. 令g(x)＝f′(x)＝ex－2x， 则g′(x)＝ex－2，令g′(x)＝0，得x＝ln 2. 当x∈(0，ln 2)时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 解 解 解 解 3 真题VS押题 PART THREE 解 解 解 解 解 解 解 解 解 3 真题VS押题 PART THREE 解 解 解 4 专题作业 PART FOUR 1．已知函数f(x)＝x－logax(a＞0，且a≠1)． (1)当a＝e时，求证：f(x)≥1； (2)当a＝4时，求证：函数g(x)＝f(x)－1有两个零点． 证明 证明 解 解 解 解 解 解 解 解 解 解 解 解 解 6．(2021·岳阳二模)已知函数f(x)＝ex－ax＋sinx－1. (1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间； (2)当1≤a<2时，证明：函数f(x)有2个零点． 解　(1)当a＝2时，f(x)＝ex－2x＋sinx－1， 则f′(x)＝ex－2＋cosx，设h(x)＝ex－2＋cosx， 则h′(x)＝ex－sinx. 当x∈(－∞，0]时，可得ex≤1， 所以f′(x)≤－1＋cosx≤0， 所以f(x)在(－∞，0]上单调递减； 当x∈(0，＋∞)时，ex>1，所以h′(x)>1－sinx≥0， 解 解 解 解 本课结束 研究函数零点问题的基本思想和基本方法 (1)基本思想：数形结合思想，即借助分析函数的单调性、极值、最值，画出函数图象的草图，数形结合进行解答． (2)基本方法：首先利用导数研究函数的单调性和极值，然后结合图象分析零点的个数；对于含参数的问题，可根据函数零点的个数的要求，控制极值点函数值的正负，从而解不等式求出参数的范围． 例1　(2021·肇庆二模)已知函数f(x)＝eq \f(1,2)x2－a(xln x－x)＋(a＋1)ln x. (1)当a＝2时，讨论y＝f(x)的单调性； (2)设y＝f′(x)是函数f(x)的导函数，讨论函数y＝f′(x)在[1，e]上的零点个数． 解　(1)由题意可得f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝x－aln x＋eq \f(a＋1,x). 设h(x)＝f′(x)＝x－aln x＋eq \f(a＋1,x)，