专题10 二元一次方程组的实际应用问题-【专题突破】2021-2022学年七年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义(人教版)

专题训练（十）二元一次方程组的实际应用问题 利用二元一次方程组解决实际问题的关键： 1、 确定合适的未知数。 2、 根据题意，从条件中找出合适的等量关系。 题型一：方案问题 示例：在某学校举行的课间“桌面操”比赛中，为奖励表现突出的班级，学校计划用260元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品只能购买3个或4个且钱全部用完的 情况下（注：每种方案中都有三种奖品），共有多少种购买方案（       ） A．12种 B．13种 C．14种 D．15种 【答案】C 【题意分析】有两个等量关系：购买A种奖品钱数+购买B种奖品钱数+购买C种奖品钱数=260；C种奖品个数为3或4个，设两个未知数，得出二元一次方程，根据实际含义确定解． 【详解】设购买A种奖品m个，购买B种奖品n个， 当C种奖品个数为3个时，根据题意得 整理得 都是正整数， 当C种奖品个数为4个时，根据题意得 整理得 都是正整数， 有种购买方案。故选：C． 1．某校计划购买数学、语文两种书若干本用于图书角建设，已知购买2本数学书和1本语文书需100元：购买6本数学书与购买7本语文书的价格相同． (1)求数学和语文这两种书的单价： (2)若购买数学和语文两种书共50本，总价不超过1600元，求这所学校最多购买多少本数学书? 【答案】(1)设数学、语文这两种书的单价分别为x元、y元； 由题意可得：；解得： 所以数学单价为35元；语文的单价为30元． (2)设购买数学书m本；则由题意可得： 解得： 所以这所学校最多购买20本数学书． 2．已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运转，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计，有几种租车方案？ (3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】（1）设1辆型车和1辆型车一次分别可以运货吨，吨， 根据题意得：，解得：， 则1辆型车和1辆型车一次分别可以运货3吨，4吨； (2)某物流公司现有31吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆， ， 则有，解得：， 为整数，，2，，10， 为整数，，5，9，，；，；，， 满足条件的租车方案一共有3种，，；，；，； (3)型车每辆需租金100元次，型车每辆需租金120元次， 当，，租车费用为：元； 当，，租车费用为：元； 当，，租车费用为：元， 当租用型车1辆，型车7辆时，，租车费为940元，租车费最少． 题型二：行程问题 示例：某体育场的环行跑道长400m，甲、乙分别以一定的速度练习徒步和骑自行车．如果反向而行，那么他们每隔30s相遇一次．如果同向而行，那么每隔90s乙就追上甲一次．甲、乙的速度分别是多少？ 【答案】甲的速度是 m/s，乙的速度是m/s ． 【题意分析】利用题中的等量关系有：①反向而行，则两人30秒共走400m；②同向而行，则80秒乙比甲多跑400m，进而得出方程组求出即可． 【详解】设甲的速度是xm/s，乙的速度是ym/s． 根据题意可得：①根据反向而行，得方程为30（x+y）＝400； ②根据同向而行，得方程为90（y﹣x）＝400． 那么列方程组 ， 解得： ， 答：甲的速度是m/s，乙的速度是m/s． 3．汽车在上坡时速度为28千米/时，下坡时速度为42千米/时，从甲地到乙地用了4小时，返回时用了4小时，从甲地到乙地上、下坡各是多少千米？ 【答案】设从甲地到乙地上坡x千米，下坡是y千米，根据题意可得： ，解得：， 答：从甲地到乙地上坡70千米，下坡是84千米． 4．甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A，B两地间的路程为20千米，他们前进的路程为s（单位：千米），甲出发后的时间为t（单位：小时），甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息回答下列问题： (1)甲的速度是　 　千米/小时，乙比甲晚出发　 　小时； (2)分别求出甲、乙两人前进的路程s与甲出发后的时间t之间的函数关系式； (3)求甲经过多长时间被乙追上，此时两人距离A地有多远？ 【答案】(1)解：甲的速度是：20÷4＝5，乙比甲晚出发1小时；故答案为：5，1； (2)解：设甲的解析式为：s＝mt， 则20＝4m， ∴m=5, ∴甲的解析式为：s＝5t， 设乙的解析式为s＝kt＋b（k≠0）， 则'解得． 故乙的解析式为s＝20t-20； (3)解：；解得 ∴甲经过h被乙追上，此时两人距离A地有． 5．一艘轮船在相距120千米的甲、乙两