7.2离散型随机变量及其分布列（基础知识+基本题型）（含解析）--【一堂好课】2021-2022学年高二数学下学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

7.2离散型随机变量及其分布列 (基础知识+基本题型) 知识点一 随机变量 1.随机变量的定义 选手每次射箭时,可能击中靶心,也可能击中靶心周围的区域,所以这是一个随机现象. 我们以前研究过许多随机现象,如掷骰子试验中向上的一面所得到的点数,福利彩票的开奖号码等,都是一些数字,都可以用一个变量来表示. 在掷硬币试验中,虽然结果不是数字,但我们可以确定一个对应关系,如正面向上对应1.反面向上对应0,这样每一个试验结果都能用一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果的变化而变化,像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,随机变量常用字母X,Y,表示. 2.随机变量与函数的区别与联系 随机变量 函数 区别 联系 都是一种映射,随机试验所有结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域 提示 (1)一般地,一个试验如果满足下列条件:①试验可在相同的情形下重复进行;②试验所有可能出现的结果是明确的,并且不止一个;③每次试验的结果总是这些可能出现的结果的一个,但是在每一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.这种试验就是一个随机试验,简称试验. (2)随机变量是将随机试验的结果数量化,有些随机试验的结果不具有数量性质,但我们仍可以用数量表示它们. (3)对随机变量的所有可能取值都要明确,既不能重复也不能遗漏,随机变量的取值对应于随机试验的某一随机事件,如“掷一枚骰子”这一随机试验中向上的面所得点数是一随机变量,随机变量“”即对应随机事件:“掷一枚骰子,向上的面的点数为2”. 知识点二 离散型随机变量 所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量. 拓展 (1)若随机变量X的所有可能取值不能一一列出,则X不是离散型随机变量,例如,在随机试验“在区间[0,1]中任取一个数X”中,X的可能取值就不能一一列出,故X不是离散型随机变量,但如果那么是一个离散型随机变量. (2)离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系. 区别:对于离散型随机变量而言,它所有可能的取值为有限个或者可以将它所有的取值按一定次序一一列出,而连续型随机变量可取某一区间内的一切值,无法把其中的值一一列举出来. 联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用来刻画随机试验所出现的结果的. (3)教材中所涉及的离散型随机变量只取有限个不同的值. 知识点三 离散型随机变量的分布列 1.离散型随机变量分布列的定义 一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为,X取每一个值()的概率,以表格的形式表示如下: X … … P … … 这个表格称为离散型随机变量X的概率分布列,得称为X的分布列,有时为了简单起见,也用等式表示X的分布列. (1)离散型随机变量X的分布列的意义. 离散型随机变量X的分布列实质上就是随机变量X与这一变量所对应的概率P的分布表,它从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小,反映了随机变量取值的规律. (2)离散型随机变量的分布列的表示方法 ①表格法:表格的形式,如定义中的表格. ②解析式法: ③图象法:如在掷骰子的试验中,掷出的点数X的分布列可以用图象表示,如图2.1-1. 提示:(1)离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值,而且能清楚地看到每一个值的概率的大小,从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况,是进一步研究随机试验数量特征的基础. (2)在求离散型随机变量的分布列时,明确随机变量所取的每个值表示的意义是关键. (3)随机变量X取每一个值的概率等于其相应随机事件发生的概率. (4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率和. 2.离散型随机变量的分布列的性质 (1) (2). 提示 (1)是由概率的非负性决定的. (2)是因为一次试验的各种结果是互斥的,而全部结果之和为一个必然事件. (3)分布列性质的主要应用:利用分布列的性质可以验证某个数列是否可以成为离散型随机变量的分布列,也可以确定离散型随机变量的分布列中未知的概率数值或参数的值. 知识点四 两点分布 若随机变量的分布列如下表所示 0 1 则称服从两点分布,并称为成功概率. 拓展 (1)如果一个随机试验只有两个可能的结果,就可以用两点分布来研究它,为此,只要定义一个随机变量,使其中一个结果对应1,称该结果为“成功”;另一个结果对应0,称该结果为“失败”,这样得到了描述该随机试验的服从两点分布的随机变量. (2)两点分布又称分布或伯努利分布. (3)服从两点分布的随机变量的取值是0或1,且. (4)在有多个结果的随机试验中,如果我们只关心一个随机事件是否发生,就可以利用两点分布来研究它.例如,在掷骰子试验中,有6个可能的结果,如果我们只关心出现的点数是否大于4,那么可以通过随机变量来研究“出现的点数大于4”