5.3.1 对数的概念(导学案）-【中职专用】高一数学同步精品课堂（高教版2021·基础模块下）

5.3.1对数的概念（导学案） 预习探究 知识点1 对数的概念 若ax＝N(a＞0，且a≠1)，则数x叫做以a为底N的对数，a叫做对数的__底数__，N叫做__真数__，记作x＝__logaN__ [知识点拨]　对数式logaN可看作一种记号，表示关于x的方程ax＝N(a＞0，且a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a＞0，且a≠1)，幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式logaN又可看作幂运算的逆运算． 知识点2．常用对数和自然对数 (1)常用对数：通常我们将以__10__为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为__lgN__. (2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为__lnN__. 知识点3．对数与指数的关系 当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝__logaN__. 知识点4．对数的基本性质 (1)__零__和__负数__没有对数． (2)loga1＝__0__(a＞0，且a≠1)． (3)logaa＝__1__(a＞0，且a≠1)． 考点类析： 题型一 指数式与对数式的互化 例1 完成以下指数式、对数式的互化. (1)log5＝－1；(2) 16＝－4；(3)log125＝6； (4)26＝64； (5)10－3＝0.001； (6)()－3＝8. 【思路分析】　先判断出是指数式还是对数式，再利用指对数的关系转化求解． 【解析】　(1)∵log5＝－1，∴5－1＝.(2)∵16＝－4，∴()－4＝16. (3)∵log125＝6，∴()6＝125.(4)∵26＝64，∴log264＝6. (5)∵10－3＝0.001，∴lg0.001＝－3.(6)∵()－3＝8，∴8＝－3. 【归纳提升】　对数式logaN＝b是由指数式ab＝N变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图： 并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9＝2，只有a＞0且a≠1，N＞0时，才有ax＝N⇔x＝logaN. 【变式】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)42＝16；(2)102＝100；(3)4＝2；(4)32＝－5. [分析]　按照指数式与对数式的关系转化，幂底数对应对数底数，指数对应对数，幂对应真数． 【解析】　(1)log416＝2.(2)lg100＝2.(3)log42＝.(4)()－5＝32. 题型二　 对数定义与性质的应用 例2 求下列各式中的x： (1)log3(log2x)＝0；　　　(2)log3(log7x)＝1；(3)lg(lnx)＝1；(4)lg(lnx)＝0. 【思路分析】　利用指数式与对数式的互化进行解答． 【解析】　(1)由log3(log2x)＝0得log2x＝1，∴x＝2； (2)log3(log7x)＝1，log7x＝31＝3，∴x＝73＝343； (3)lg(lnx)＝1，lnx＝10，∴x＝e10； (4)lg(lnx)＝0，lnx＝1，∴x＝e. 【归纳提升】　对数性质在计算中的应用 (1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0. (2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质． 【变式】求下列各式中x的值： (1)x＝16；　　　　(2)log8x＝－； (3)log2(log4x)＝0；　　　　 【解析】　(1)∵x＝16，∴()x＝16，即2－x＝24.∴－x＝4，即x＝－4. (2)∵log8x＝－，∴x＝8－＝＝. (3)∵log2(log4x)＝0，∴log4x＝1，∴x＝4. 当堂自测 1．下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成为对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为（ C ） A．1　　 B．2　　　　C．3　　 D．4 【解析】　①正确；②当底数小于0的指数式不可以化成对数式；③④叫法正确，故选C． 2．logx＝4，则x、y之间的关系正确的是（ A ） A．x4＝　　 B．y＝64x C．y＝3x4　　 D．x＝ 3．已知loga2b＝c，则（ B ） A．a2b＝c　 B．a2c＝b　　　　C．bc＝2a　 D．c2a＝b 4．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ B ） A．100＝1与lg1＝0 B．27－＝与log27＝－3 C．log39＝2与32＝9 D．log55＝1与51＝5