[名校联盟]福建省泉州市泉港区三川中学华师大版八年级数学上册12章（学案，5份）

（x-1）（x2+x+1）=x3-1 （x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1 （x-1）（x4+x3+x2+x+1）=x5-1 （1）你能否由此归纳出一般性规律： （x-1）（xn-1+xn-2+xn-3+…+x2+x+1）=____； （2）根据（1）求出：1+2+22+…+262+263的结果. 2.观察下面各式规律： 12+（1×2）2+22=（1×2+1）2； 22+（2×3）2+32=（2×3+1）2； 32+（3×4）2+42=（3×4+1）2… 写出第n个的式子，并证明你的结论． 专题二 与平方差公式有关的图形问题 3. 如下图，把正方形的方块，按不同的方式划分，计算其面积，便可得到不同的数学公式．按图1所示划分，计算面积，便得到一个公式：（x+y）2=x2+2xy+y2． 若按图2那样划分，大正方形则被划分成一个小正方形和两个梯形，通过计算图中的面积，请你完成下面的填空． （1）图2中大正方形的面积为__________； （2）图2中两个梯形的面积分别为__________； （3）根据（1）和（2），你得到的一个数学公式为______________________． 4. 图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）图2中的阴影部分的面积为_______； （2）观察图2，三个代数式（m+n)2，（m-n)2，mn之间的等量关系是_______若x+y=-6，xy=2.75，则x-y=___________ (4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢? （5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2.[来源:Z,xx,k.Com] 专题三 平方差公式的逆运用 5.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“神秘数” （1）28和2 012这两个数是“神秘数”吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神[来源:学_科_网][来源:学科网] 秘数是4的倍数吗？为什么？ （3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？为什么？ 状元笔记 【知识要点】 1. 平方差公式：(a+b)（a-b）=a2-b2． 用语言叙述为：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差． 1. 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2 -2ab+b2. 语言叙述为：两数和（或差）的平方， 【方法技巧】 平方差公式常用的几种变化形式： (1)位置变化：(b+a)(-b+a）=(a+b)(a-b）=a2 -b2； (2)符号变化：（-a-b）（a-b）=-（a+b）（a-b）=-(a2-b2)； (3)系数变化：(2a+3b)(2a-3b)=4a2-9b2； （4）指数变化：(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4 （5）增项变化：（a-b-c)(a-b+c)=(a-b)2-c2,… 完全平方公式常有以下几种变化形式： (l)a2+b2=(a+b)2-2ab; (2)a2+b2=(a-b)2+2ab； (3)2ab=(a+b)2-(a2+b2); (4)2ab=(a2+b2)-(a-b)2； (5)(a+b)2=(a-b)2+4ab； （6）(a-b)2-(a+b)2=4ab. [来源:Z_xx_k.Com] 参考答案 1. 解：①（x-1）（xn-1+xn-2+xn-3+…+x2+x+1）=xn-1； ②原式=（2-1）（263+262+…+22+2+1）=264-1． 2. 解：第n个式子：n2+[n（n+1）]2+（n+1）2=[n（n+1）+1]2. 证明：因为左边=n2+[n（n+1）]2+（n+1）2 =n2+（n2+n）2+（n+1）2 =（n2+n）2+2n2+2n+1 =（n2+n）2+2（n2+n）+1 =（n2+n+1）2， 而右边=（n2+n+1）2，所以，左边=右边，等式成立 3. 解：（1）图中大正方形的面积为x2； （2）两个梯形的面积分别为 （x+y）（x-y）； （3）x2-y2=2× （x+y）（x-y）；即x2-y2=（x+y）（x-y）． 4. 解：（1）（m-n）2 （2）（m-n）2+4mn=（m+n）2 （3）±5 （4）（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2 （5）答案不唯一，例如： 5. 解：（1）28=2×14=（8-6）（8+6）=82-62；2012=4×503=5042-5022， 所以28和2012是神秘数．