9.1.1正弦定理及其应用-2021-2022学年高一数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第四册)

第九章 解三角形 9.1正弦定理与余弦定理 9.1.1正弦定理及其应用 知识梳理 1.三角形的面积公式 一般地，若记的面积为S，则absinC=acsinB=bcsinA 2.正弦定理 在中： 这就是正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等. 3.利用正弦定理和三角形内角和定理，解决三角形 （1）两角和任意一边，求其它两边和一角；如； （2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．如. 一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解或一解（见图示）． 常见考点 考点一 正弦定理解三角形 典例1．的内角各对边分别是，已知，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 利用正弦定理可求得，由三角形大边对大角特点可得结果. 【详解】 由正弦定理得：， ，，. 故选：B. 变式1-1．在中，，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据正弦定理即可求解结果． 【详解】 由题意得，因为，所以． 故选：C． 变式1-2．在中，，则（       ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由正弦定理即可求得的值. 【详解】 故选：A 变式1-3．已知中，，则c=（       ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三角形内角和求出，再根据正弦定理求出. 【详解】 因为，所以， 由正弦定理可得， 故选：C. 考点二 正弦定理判定三角形解的个数 典例2．在中，角的对边分别为，若，，，则此三角形（       ） A．无解 B．有一解 C．有两解 D．解的个数不定 【答案】B 【解析】 【分析】 根据作圆法判断三角形个数的结论直接得到结果即可. 【详解】 ，，有唯一解. 故选：B. 变式2-1．在中，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c．根据下列条件解三角形，其中有两解的是（       ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】A 【解析】 【分析】 前三个选项中已知两边和一对角，分别比较和之间、与之间的大小关系，从而得到三角形解的个数，D选项中已知两角和一边得三角形有唯一解 【详解】 A选项：，又，所以三角形有两个解，则A正确； B选项：，又，所以三角形有一个解，则B错误； C选项：，所以三角形有一个解，则C错误； D选项：可得，所以三角形有一个解，则D错误； 故选：A. 变式2-2．在中，，，，若该三角形有两个解，则范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三角形解得个数可直接构造不等式求得结果. 【详解】 三角形有两个解，，即. 故选：D. 变式2-3．在中，，，，则的解的个数为（     ） A．1 B．2 C．无解 D．无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】 利用正弦定理求出的值，再由小边对小角即可判断. 【详解】 在中，由正弦定理可得：， 所以， 因为，所以，所以角是锐角，进而可得角和边都是唯一的， 所以的解的个数为， 故选：A. 考点三 正弦定理边角互化的应用 典例3．在△ABC中，若，则B＝（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】 【分析】 由正弦定理化边为角，再由诱导公式，两角和的正弦公式变形可得． 【详解】 因为，由正弦定理得 因为，所以 因为，所以，所以，而B为三角形内角，故． 故选：A． 变式3-1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则△ABC形状为（       ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】 根据正弦定理边化角可得，利用两角和公式进行化简计算即可. 【详解】 由正弦定理得：，， ，三角形内角和等于180°，， 故选：C. 变式3-2．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则（       ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】 【分析】 由正弦定理得化简即得解. 【详解】 因为， 所以或. 或都满足题意. 故选：D 变式3-3．在中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若，则的形状为（       ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】 应用正弦定理，结合三角形内角的性质及两角和差公式可得，即可判断的形状. 【详解】 由题设，结合正弦定理有，而， ∴，即，又， ∴. 故选：A 考点四 正弦定理求外接圆半径 典例4．已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则外接圆的半径为（       ） A．5 B．10 C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用同角关系式可得，再利用正弦定理即求. 【详解】 因为，