2.5.3极坐标系中的曲线方程 讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）选择性必修第一册

极坐标系中的曲线方程 1．极坐标系 如图(1)所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． 2．极坐标 ①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ． ②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ． ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)，一般不作特殊说明时，我们认为ρ ≥0，θ可取任意实数．当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角． 　　　　　　 图(1)　　　　　　　　　　　　图(2) 3．极坐标与直角坐标的互化 设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图(2)可知下面的关系式成立： 或这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 4．常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ<2π) 圆心为(r，0)，半径为r的圆 ρ＝2rcosθ 圆心为，半径为r的圆 ρ＝2rsinθ(0≤θ<π) 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R)或θ＝α＋π(ρ∈R) 过点(a，0)，与极轴垂直的直线 ρcosθ＝a 过点，与极轴平行的直线 ρsinθ＝a(0<θ<π) [提醒]关于极坐标系 1．极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，四者缺一不可． 2．一般地，点M(ρ，θ)的极坐标通式是(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋2kπ＋π)(k∈Z)．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示． 3．极坐标与直角坐标的重要区别：多值性． 4．已知极坐标方程求线段的长度的方法 (1)先将极坐标系下点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后求线段的长度． (2)直接在极坐标系下求解，设A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，则|AB|＝； (3)如果直线过极点且与另一曲线相交，求交点之间的距离时，求出曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程及交点的极坐标，则|ρ1－ρ2|即为所求． 题型1 极坐标及极坐标系 1．下列极坐标表示的点不在曲线上的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将选项代入条件逐一验算即可． 【详解】对D：点的极坐标满足，且． 选项A B C代入均成立．故选：D． 【点睛】本题考查极坐标方程与点的坐标的关系，是基础题． 2．极坐标系中，点到极轴和极点的距离分别为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据极坐标的定义求解. 【详解】点到极轴的距离，到极点的距离.故选：C 题型2 极坐标与直角坐标的互化 3．点的直角坐标为，则点的极坐标可以为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断点的位置，然后根据公式：，求出 ，根据点的位置，求出. 【详解】因为点的直角坐标为，所以点在第二象限. ，因为点在第二象限， 所以，故本题选D. 【点睛】本题考查了点的直角坐标化为极坐标，关键是要知道点的具体位置. 4．若点P的直角坐标为(，－)，则它的极坐标可表示为（ ） A．(2，) B．(2，) C．(2，) D．(2，) 【答案】D 【分析】先求出极径，再求出一个极角． 【详解】由题意，设极角为，，则， 所以．所以点的极坐标为．故选：D. 【点睛】 本题考查直角坐标与极坐标的互化．掌握极坐标与直角坐标之间的关系是解题关键．互化公式为． 5．已知点的极坐标为，则它的直角坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由代值计算即可。 【详解】直接代入公式即得所以它的直角坐标是. 故选C. 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题。 5．已知点P的极坐标为，则它的直角坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用极坐标和直角坐标互化的公式求解. 【详解】由题得x=2,,所以它的直角坐标为.故选：A 【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 题型3 极坐标方程与直角坐标方程的互化 1．在极坐标系中，方程表示的曲线是（ ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】B 【解析】方程，可化简为：，即. 整理得，表示圆心为(0,，半径为的圆.故选B. 2．过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程可以为（ ） A． B．， C．， D．和， 【答案】D 【分