课时作业(十六)　导数的四则运算法则（课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【金版新学案】同步导学（北师大版）

课时作业(十六)　导数的四则运算法则 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 1．设y＝－2ex sin x，则y′等于(　　) A．－2ex cos x B．－2ex sin x C．2ex sin x D．－2ex(sin x＋cos x) D　[y′＝－2(ex sin x＋ex cos x)＝－2ex(sin x＋cos x).] 2．函数f(x)＝x cos x－sin x的导函数是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数，又不是偶函数 B　[f′(x)＝(x cos x)′－(sin x)′ ＝cos x－x sin x－cos x ＝－x sin x. 令F(x)＝－x sin x，x∈ R， 则F(－x)＝x sin (－x)＝－x sin x＝F(x)， ∴f′(x)是偶函数．] 3．对于函数f(x)＝＋ln x－，若f′(1)＝1，则k等于(　　) A． B． C．－ D．－ A　[∵f′(x)＝＋＋， ∴f′(1)＝－e＋1＋2k＝1，解得k＝.] 4．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切，则a的值为(　　) A．1 B．±1 C．－1 D．－2 A　[设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0＋1，且y0＝ax＋3， 所以3x0＋1＝ax＋3　①. 对y＝ax3＋3求导得y′＝3ax2，则3ax＝3，ax＝1　②， 由①②可得x0＝1，a＝1.] 5．已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f1(x)＋f2(x)＋…＋f2 022(x)等于(　　) A．2cos x B．sin x－cos x C．－sin x－cos x D．sin x＋cos x A　[因为f1(x)＝sin x＋cos x， fn＋1(x)是fn(x)的导函数， 所以f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x， f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x， f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x， f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，…， 由此发现fn＋1(x)是fn(x)的导函数，并且周期为4，每个周期的和为0， 所以f1(x)＋f2(x)＋…＋f2 022(x)＝f1(x)＋f2(x)＝2cos x．故选A.] 6．曲线y＝在点(1，1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是 ． 解析：　y′＝－，则y′|x＝1＝－1， ∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2，0)到直线的距离d＝2，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为2－1. 答案：　2－1. 7．已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝ 解析：　∵f′(x)＝x2＋3f′(0)，令x＝0，则f′(0)＝0， ∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1. 答案：　1 8．已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝ ． 解析：　由y＝x＋ln x，得y′＝1＋， 得曲线在点(1，1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2， 所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 此切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切， 消去y，得ax2＋ax＋2＝0， 所以a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8. 答案：　8 9．求下列函数的导数． (1)y＝(x－2)(x2＋2x＋4)； (2)y＝－2x. 解析：　(1)法一：y′＝(x－2)′(x2＋2x＋4)＋(x－2)(x2＋2x＋4)′＝x2＋2x＋4＋(x－2)(2x＋2)＝3x2. 法二：∵y＝(x－2)(x2＋2x＋4)＝x3－8. ∴y′＝3x2. (2)y′＝－2x·ln 2＝－2x·ln 2 ＝＋ln x－2x ln 2. 10．设f(x)＝a·ex＋b ln x，且f′(1)＝e，f′(－1)＝，求a，b的值． 解析：　∵f(x)＝a·ex＋b ln x， ∴f′(x)＝a·ex＋， 根据题意应有 解得 所以a，b的值分别是1，0. 学科网（北京）股份有限公司 $