9.1&9.2 线性回归分析与独立性检验-【固本培优系列】2021-2022学年高二数学下学期同步精品培优讲义(苏教版2019选择性必修第二册)

第九章 统计 9.1&9.2线性回归分析与独立性检验 【必备知识】 知识点1:线性回归分析 1.变量之间的相关性 (1) 常见的两变量之间的关系有两类:一类是函数关系,另一类是相关关系;与函数关系不同,相关关系是 一种非确定性关系. (2) 从散点图上看,点散布在从左下角到右上角的区域内,两个变量的这种相关关系称为正相关,点散布在 左上角到右下角的区域内,两个变量的相关关系为负相关. 2.线性相关 (1)从散点图上看,如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近,称两个变量之间具 有线性相关关系,这条直线叫做回归直线. (2)回归方程为(其中 . (3)通过求的最小值而得到回归直线的方法,即使得样本数据的点到回归直线的距离 的平方和最小,这一方法叫做最小二乘法. (4)相关系数: 当时,表明两个变量正相关;当 时,表明两个变量负相关. 的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强.的绝对值越接近于0时,表明两个变量之间几乎 不存在线性相关关系.通常大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性 【典例1】某工厂的每月各项开支与毛利润（单位：万元）之间有如下关系，与的线性回归方程是，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由表格中的数据可得，， 则样本中心点的坐标为， 将样本中心点的坐标代入回归直线方程可得，解得. 故选：A. 【典例2】已知某品牌客车的使用年限（年）与维护费用（千元）之间有如下数据： 使用年限（年） 2 3 4 5 6 维护费用（千元） 2 2.5 4.5 5 6.5 若与之间具有线性相关关系，且关于的线性回归方程为，据此估计，使用年限为8年时，维护费用约为（ ） A．7.55千元 B．8.7千元 C．9.7千元 D．10.25千元 【答案】B 【详解】 由题意得：，， 由于回归直线过样本的中心点，即，解得， ∴回归直线方程为， 当时，（千元）. 故选：B. 【典例3】某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司2014年至2020年的年利润y关于年份代号x的统计数据知下表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 年利润y（单位：亿元） 29 33 36 44 48 52 59 (1)求y关于x的线性回归方程； (2)预测该公司2021年（年份代号记为8）的年利润； 参考公式：，. 【答案】(1)； (2)该公司2021年的年利润预测值为63亿元. 【解析】 (1)由表格数据可得：，， ∴，故， ∴y关于x的线性回归方程为. (2)当时，（亿元）， ∴该公司2021年的年利润预测值为63亿元； 知识点2:独立性检验 1.假定通过简单随机抽样得到了和的抽样数据列联表,如下表所示. y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 则. 2.利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为独立性检验,读作“卡方独立性检验”,简称独立性检验. 3.独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 4.在独立性检验中,统计量有两个临界值:3.841和6.635 .当时,至少有的把握说明两个事件有关,当时,至少有的把握说明两个事件有关,当时,认为两个事件无关. 【典例4】微信和是中国最受欢迎的两个即时通讯软件，作为具有同样功能的软件，二者的业务不可避免地重叠，但是从大众分析调查来看，二者的受众人群有着一些小区别.某机构用简单随机抽样方法调查了100位社区网络员手机即时通讯软件的使用情况，结果如下表， 35岁以上 35岁以下 总计 微信 45 20 65 13 22 35 总计 58 42 100 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 则下列结论正确的是（ ） A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“使用即时通讯工具与年龄有关” B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“使用即时通