5.2指数函数(导学案）-【中职专用】高一数学同步精品课堂（高教版2021·基础模块下）

5.2指数函数（导学案） 预习探究： 知识点1 　指数函数 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R． 思考：为什么指数函数的底数a>0，且a≠1? 提示：①如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义． ②如果a<0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义． ③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1. 知识点2 指数函数的图象和性质 0＜a＜1 a＞1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 在R上是减函数 在R上是增函数 思考：对于指数函数y＝2x，y＝3x，y＝()x，y＝()x，…，为什么一定过点(0，1)? 提示：当x＝0时，a0＝1(a≠0)恒成立，即指数函数的图象一定过点(0，1)． 考点类析： 题型一　指数函数的概念 例1 (1)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是(　B　) A．y＝(－4)x　　　　　 B．y＝πx C．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0，a≠1) (2)若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有(　C　) A．a＝1或2 B．a＝1 C．a＝2 D．a>0且a≠1 [解析]　(1)函数y＝(－4)x的底数－4<0，故A中函数不是指数函数；函数y＝πx的系数为1，底数π>1，故B中函数是指数函数； 函数y＝－4x的系数为－1，故C中函数不是指数函数； 函数y＝ax＋2＝a2·ax的系数为a2，故D中函数不是指数函数，故选B． (2)由题意，得， 解得a＝2，故选C． [归纳提升]　1.指数函数的解析式必须具有三个特征： (1)底数a为大于0且不等于1的常数； (2)指数位置是自变量x； (3)ax的系数是1. 2．求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件． 【变式】(1)下列函数中是指数函数的是(　D　) A．y＝2·()x B．y＝xx C．y＝3－ D．y＝()x (2)若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则(　C　) A．a＝1或－1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a>0且a≠1 [解析]　(1)由指数函数定义可知，函数y＝()x是指数函数，故选D． (2)由条件知解得a＝－1. 题型二　指数函数解析式 例2　指数函数y＝f(x)的图象经过点(－2，)，那么f(4)·f(2)＝64． [解析]设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则a－2＝，∴a＝2. ∴f(x)＝2x，∴f(4)·f(2)＝24·22＝26＝64. [归纳提升]　求指数函数解析式的步骤 (1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0且a≠1)． (2)利用已知条件求底数a. (3)写出指数函数的解析式． 【变式】(1)若点(a，27)在函数y＝()x的图象上，则的值为(　A　) A． B．1 C．2 D．0 (2)若指数函数y＝f(x)的图象经过点(－2，)，则f(－)＝． 题型三　与指数函数有关的定义域 例3　求下列函数的定义域： (1)y＝2； (2)y＝()－|x|； [分析]　定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值集合，依据定义域求解． [解析]　(1)由题意知x－4≠0，所以x≠4，所以函数的定义域为{x|x∈R，x≠4}．因为≠0，所以2≠1，所以函数的值域为{y|y>0，且y≠1}． (2)由题意知函数的定义域为R. 因为|x|≥0，所以y＝()－|x|＝()|x|≥()0＝1，所以函数的值域为{y|y≥1}． 【变式】求下列函数的定义域： (1)y＝()x2－2x－3； (2) [解析]　(1)y＝()x2－2x－3的定义域为R. ∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4， ∴()x2－2x－3≤()－4＝16. 又∵()x2－2x－3>0， 故函数y＝()x2－2x－3的值域为(0，16]． (2)由2x－4>0，得x>2，故函数的定义域为{x|x>2}， 题型四 指数函数的图象 例4 如图所示是下列指数函数的图象： (1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx. 则a，b，c，d与1的大小关系是(　B　) A．a<b<1<c<d　　　 B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c [解析]　可先分为两类，(3)(4)的底数一定大于1，(1)(2)的底数一定小于1，然后再由(3)(4)比较，c，d的大小，由(1)(2)比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴，故选B． 【变式】如图所示是指数