必考点05 空间向量用坐标系解决长度问题-【对点变式题】2021-2022学年高二数学下学期期中期末必考题精准练（苏教版2019选择性必修第二册）

必考点05 空间向量用坐标系解决长度问题 题型一 点到直线的距离 例1．已知直线过定点，3，，且，1，为其一个方向向量，则点，3，到直线的距离为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，0，，故， ， 设直线与直线所成的角为，则， 故， 点，3，到直线的距离为． 故选A． 例2．已知直线的方向向量为，，，若点，1，为直线外一点，，1，为直线上一点，则到直线上的距离为　　． 【答案】 【解析】，1，，，1，， ，0，，又，，， ，， ，， 又， 点，1，到直线的距离为： ，， 故答案为：． 【解题技巧提炼】 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的方向向量． (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 题型二 点到平面的距离与直线到平面的距离 例1．如图，在正四棱柱中，，，，分别为，的中点． （Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅱ）求平面与平面的夹角的余弦值； （Ⅲ）求点到平面的距离． 【答案】（Ⅰ）以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，1，，，0，，，1，，，1，，． ． 设平面的法向量为， ，， ，即 取，得． 设直线与平面所成的角为． 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． （Ⅱ）设平面的法向量为， ，， ，即． 取，得，1，． 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为． （Ⅲ）由（Ⅰ）知，平面的一个法向量为． ． 点到平面的距离， 即点到平面的距离为． 例2．在三棱柱中，侧面正方形的中心为点，平面，且，点满足． （1）若平面，求的值； （2）求点到平面的距离； （3）若平面与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】（1）因为，所以点在上， 因为平面，面，面面， 所以， 因为为中点，所以为的中点，故． （2）在三棱柱中，面面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离． 又因为正方形，所以，且平面， 以为原点，的方向分别为，，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意知，则，， 设平面的法向量为，则， 令，可得法向量为， 又， 所以到平面的距离． （3）因为，所以， 则， 设面的法向量为， 则，令， 可得法向量为， 所以， 因为平面与平面所成角的正弦值为，所以， 可得，所以或． 【解题技巧提炼】 用向量法求点面距的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标． (3)求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n)． (4)求距离d＝. 题型一 点到直线的距离 1．已知点，3，，直线过点，3，，且一个方向向量为，0，，则点到直线的距离为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点，3，，直线过点，3，，且一个方向向量为，0，， ，0，， ， ， ， 点到直线的距离为． 故选B． 2．如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，，求点到直线的距离． 【答案】因为，，， 所以，0，，，2，，，0，， 则直线的方程向量，2，， 又因为，2，， 所以在上的射影长为， 则点到直线的距离． 题型二 利用空间向量求直线与平面所成的角 1．如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，，，． （1）求点到平面的距离； （2）是线段的中点，求与平面所成角正弦值． 【答案】（1）如图所示，取中点，连结，， 直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，则垂直于平面， ，则，，，， 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则：，，，，，，，0，，，0，，，2， 据此可得，2，，，2，， 设平面的一个法向量为，，， 则，令可得， 从而，，，又，2，， 故求点到平面的距离． （2）是线段的中点，由（1）知，1，， ，1，， 设与平面所成角所成的角为， 则，． 与平面所成角正弦值为． 2．如图，在四棱锥中，底面为矩形且，侧面底面，且侧面是正三角形，、分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：取的中点，连接，， 是的中点，，且， 底面是矩形，是的中点，，且， ，且，四边形是平行四边形，， 平面，平面，平面． （2）侧面是正三角形，是的中点，， 侧面底面，交线为，底面， 以为坐标原点，为轴，取中点为，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，1，，，0，，，1，，，，，0，， ，，，，0，，， 设平面的法向量，，， 则，取，得，，， 设求直线与平面所成角为， 则直线与平面所成角的正弦值为： ； （3）点到平面的距离． 1．如图，平面，为正方形，且，、分别是、的中点，与平面所成的角为，点到边的距离为