必考点07 二项式定理核心问题解决方案-【对点变式题】2021-2022学年高二数学下学期期中期末必考题精准练（苏教版2019选择性必修第二册）

必考点07 二项式定理核心问题解决方案 题型一 二项展开式中特定项与系数问题 例1．已知的展开式中含的系数为60，则的展开式中的常数项为　　 A． B．160 C．80 D． 【答案】A 【解析】的展开式的通项， 令，得． 所以的展开式中含的系数为，解得， 所以的展开式通项， 令，得， 所以的展开式中的常数项为． 故选A． 例2．若展开式中含有项，则的最小值是　　 A．15 B．8 C．7 D．3 【答案】 【解析】二项展开式的通项为，令， 可得，其中，，为正整数，且有解． 当时，（舍 当时，， 当越大时，的值越大，故的最小值为3， 故选D． 例3．若的展开式中的系数为15，则　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】的展开式通项公式， 令，解得， ，则， 故选B． 【解题技巧提炼】 求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可． 题型二 二项式系数性质与各项系数和问题 例1．若，则　　 A．20 B． C．15 D． 【答案】B 【解析】， 则， 故选B． 例2．的展开式中，含项的系数为　　 A．45 B． C．15 D． 【答案】A 【解析】二项式的展开式的通项公式为， 所以的展开式中含的项为： ， 所以含项的系数为45， 故选A． 例3．在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，且所有项的系数之和为0，则含的项的系数为 　　（用数字作答）． 【答案】45 【解析】由已知得，故， 故，令，则，所以， 所以该二项式为，故含的项为， 故所求系数为45． 故答案为：45． 【解题技巧提炼】 (1)赋值法研究二项式的系数和问题 “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)二项式系数最大项的确定方法 (1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大． (2)如果n是奇数，则中间两项的二项式系数相等并最大． 题型三 多项式展开式中特定项或系数问题 例1．的展开式中的奇数次幂项的系数之和为64，则实数　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】的展开式中的奇数次幂项的系数之和为64， 设， 令，则（1），① 令，则；② ①②得，，， 解得， 故选B． 例2．已知，则　　 A． B．10 C． D．45 【答案】A 【解析】， 则， 故选A． 例3．多项式展开式中的系数为　　 A．6 B．8 C．12 D．13 【答案】C 【解析】多项式， 故它的展开式中的系数为， 故选C． 【解题技巧提炼】 (1)对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可． (2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． (3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决． 题型一 二项展开式中特定项与系数问题 1．展开式中的常数项为 　　． 【答案】 【解析】二项式的展开式的通项公式为， 令，解得， 则展开式的常数项为， 故答案为：． 2．的展开式中，常数项为 　　． 【答案】16 【解析】展开式的通项公式为，，1，2，3，4，5，6， 所以的展开式中，常数项为． 故答案为：16． 题型二 二项式系数性质与各项系数和问题 1．设，则　　． 【答案】 【解析】根据题意，， 令，即，则有， 再令，即，则有， 则有； 故答案为：． 2．已知的展开式中，只有第6项的二项式系数最大． （1）求的值； （2）求展开式中含的项． 【答案】（1）因为的展开式中，只有第6项的二项式系数最大， 则，解得； （2）展开式的通项公式为， 令，解得， 所以展开式中含的项为． 题型三 多项式展开式中特定项或系数问题 1．的展开式中的奇数次幂项的系数之和为64，则下列结论中正确的是　　 A． B．展开式中常数项为3 C．展开式中的系数为30 D．展开式中的偶数次幂项的系数之和为64 【答案】ABD 【解析】设， 令，则，①， 令，则，②， 用①②得， 展开式中的奇数次幂项的系数之和为64，，，故正确； 令，可得展开式中的常数项为，故正确； 展开式中的系数为，故错误； 由于各项的系数和，故偶数项的系数和为，故正确， 故选ABD． 2．在二项式的展开式中． （Ⅰ）求展开式中含项的系数； （Ⅱ）如果第项和第项的二项式系数相等，试求的值． 【答案】展开式中第项是 ，