必考点06 排列组合问题万能解决方法-【对点变式题】2021-2022学年高二数学下学期期中期末必考题精准练（苏教版2019选择性必修第二册）

必考点06 排列组合问题万能解决方法 题型一 分类加法计数原理 例1．一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，则不同的选法种数是　　 A．9 B．10 C．20 D．40 【答案】A 【解析】利用第一种方法有：种，利用第二种方法有：种． 故共有：种方法完成工作． 故选A． 例2．设，，，，是1，2，3，4，5的一个排列，若对一切，2，恒成立，就称该排列是“交替”的．“交替”的排列的数目是　　 A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】D 【解析】由已知可得：与异号，有两种情况： （1）且，此时 ①当第二和第四位是1或2时，有种； ②当第一位是2，第二位是1，第四位是3时有种， ②当第一位是2，第二位是1，第四位是5时有种 共计种． （2）且，此时 ①当第二位和第四位是4或5时，有种； ②当第一位是2，第二位和第四位是3或4时，有种， 共计种． 综上可得，一共有种． 故选D． 例3．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有　　 A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】A 【解析】分类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5，每堆至少1个，只有2种分法．即1和4，2和3有两种方法． 三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6，每堆至少1个，只有2种分法．即2和4，3和3两种方法． 三堆中“最多”的一堆为3个，那是不可能的． 所以不同的分法共有． 故选A． 【解题技巧提炼】 利用加法原理解决问题时的注意点 (1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏； (2)分类时，注意完成这件事件的任何一种方法必须属于某一类，不能重复． 题型二 分步乘法原理 例1．某校教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，一学生由一层到五层的走法有　　 A．10种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【解析】共分4步：一层到二层 2种，二层到三层 2种，三层到四层 2种，四层到五层 2种，一共种． 故选D． 例2．设函数满足：对于任意大于3的正整数，，且当时，，则不同的函数的个数为　　 A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【解析】，， （1）或3，且（2）或3 且（3）或3． 根据分步计数原理，可得共个不同的函数． 故选C． 【解题技巧提炼】 利用分步乘法计数原理解决问题时应注意 (1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的． (2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事． 题型三 两个原理的应用 例1．已知三棱锥，现有质点从点出发沿棱移动，规定质点从一个顶点沿棱移动到另一个顶点为1次移动，则该质点经过3次移动后返回到点的不同路径的种数为　　 A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【解析】由题意可知，不同路径：，，，，，， 共有6个不同路径． 故选B． 例2．在0，1，2，3，4，5，6这7个数中任取4个数，将其组成无重复数字的四位数，则能被5整除，且比4351大的数共有　　 A．54个 B．62个 C．74个 D．82个 【答案】C 【解析】若这个数的千位数为4，百位数为3，则这个数可以是4360，4365，共2个， 若这个数的千位数为4，百位数为5，则这个数的个位只能是0，满足条件的数共有个， 若这个数的千位数为4，百位数为6，则满足条件的数共有个， 若这个数的千位数为5，这个数的个位只能是0，则满足条件的数共有个， 若这个数的千位数为6，则满足条件的数共有个， 故满足条件的数共有74个． 故选C． 【解题技巧提炼】 用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步 (1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数． (2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成了任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数． (3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析． 题型四 排列问题 例1．由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 【答案】由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得. 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 【答案】可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法. 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出