必考点03 空间向量探索性问题归纳-【对点变式题】2021-2022学年高二数学下学期期中期末必考题精准练（苏教版2019选择性必修第二册）

必考点03 空间向量探索性问题归纳 题型一 空间向量共线、共面的探索性问题 例1．下列给出的命题中： ①如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序数组，，使． ②已知，0，，，0，，，1，，，1，．则与向量和都垂直的单位向量只有，，． ③已知向量，，可以构成空间向量的一个基底，则向量可以与向量和向量构成不共面的三个向量． ④已知正四面体，，分别是棱，的中点，则与所成的角为． 是真命题的序号为　　 A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①④ 【答案】D 【解析】①如果三个向量，，不共面，由空间向量基本定理可得：对空间任一向量，存在一个唯一的有序数组，，使． ②已知，0，，，0，，，1，，，1，．则与向量和都垂直的单位向量只有，，，因此不正确． ③已知向量，，可以构成空间向量的一个基底，向量、向量、向量都可以用向量，，所以能构成共面的三个向量，③错误． ④已知正四面体，，分别是棱来表示，的中点，如图所示， 不妨设．取的中点为，连接，． 可得，，．则与所成的角为． 综上可得：真命题的序号为①④． 故选D． 例2．已知点，0，，，1，，，0，，若存在点，使得，，则点的坐标为　　 A．，1， B．，1，或，， C．，， D．，，或，， 【答案】A 【解析】设点的坐标为，， ，，，，，0， 故：， 又，，，，，1， 故， 故点的坐标为，1， 故选A． 【解题技巧提炼】 利用空间向量解决共线、共面问题技巧： (1)若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (2)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等． (3)共线向量与共面向量区别时注意，平行于同一平面的向量才能为共面向量． (4)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底． 题型二 线面平行的探索性问题 例1．如图，在正四棱锥中，，，在侧棱上，平面． （1）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值； （2）侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）如图，连接，设交于，由题意知平面，， 以为坐标原点，，，分别为，，轴，建立坐标系如图所示． ，不妨设，，，， 由题意得，0，，，0，，，，，，0，， ，，，，0，， 设平面的一个法向量为，，， 则有，可取，，， 平面，平面的一个法向量为，0，， 设平面与平面所成的锐二面角为， ，， 平面与平面所成的锐二面角的余弦值为； （2）在棱上存在一点使平面．在上取一点，连接， 由（1）设，，，且，即，，，1，，可得，，，即，，， ，，， 平面的一个法向量，0，， 若平面，则，即，解得，故， 侧棱上存在一点，使得平面，且． 例2．如图，已知平行四边形，，，，，分别为线段，上的点，且，现将沿翻折至△． （Ⅰ）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （Ⅱ）当三棱锥的体积达到最大时，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】存在这样的点，理由如下： 如图，取的三等分点为，取上靠近点的三等分点为，连接，， 在△中，，，△，， ，又平面，平面，平面， ，，，，， 为上靠近点的三等分点，，， 又，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面， ，平面平面， 又平面，平面，此时 如图，过点作，垂足为， 当三棱锥的体积达到最大时，平面平面， 由，，，，得，即，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，平面平面， 又，平面平面，平面，平面， ，平面，平面，平面， 即点到平面的距离等于点到平面的距离，即为，得， 由，平面，可知， 在△中，，，， 设直线与平面所成角为， ，， 直线与平面所成角的余弦值为． 【解题技巧提炼】 线面平行的探索性问题 (1)对命题条件的探索常采用以下三种方法： ①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明； ②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性； ③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件． (2)对命题结论的探索常采用以下方法： 首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设． 题型三 平行与垂直的综合探索问题 1．如图，在直三棱柱中，，，是中点． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）若线段上存在一点，满足，试确定的位置，并说明理由． 【答案】（Ⅰ）证明：由题意知，平面， 平面，， ，平面， 平面，平面平面． （Ⅱ）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图， 则，0，，，2，，，0，，，1，，，2，， 则，2，，，1，，，2，， 设平面的法向量，，， 则，取，得，，， 设直线与平面所成角为， 则直线与平面所成角的正弦值为： ． （Ⅲ），0，，，0，，，