5.1.1有理数指数幂(导学案）-【中职专用】高一数学同步精品课堂（高教版基础模块-上册）

5.1．1有理数指数幂（导学案） 预习探究 知识点一 根式 1．n次方根 定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n∈N* 个数 n是奇数 a＞0 x＞0 x仅有一个值，记为 a＜0 x＜0 n是偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数，记为± a＜0 x不存在 [归纳总结]　(1)任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根． (2)＝0(n＞1，且n∈N*)． 2．根式 (1)定义：式子____叫做根式，这里n叫做__根指数__，a叫做__被开方数__. (2)性质：(n＞1，且n∈N*) ①()n＝a. ②＝ [思考]我们已经知道若x2=3,则x=±,那么()2等于什么?呢?呢? 解析: ()2=3;==3; ==3. 知识点二 分数指数幂 分数指数幂的意义 分 数 指 数 幂 正分数 指数幂 规定：a＝____(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数 指数幂 规定：a－＝＝____ (a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于__0__， 0的负分数指数幂__不存在__ 考点类析 考点一 n次方根的概念 例1　(1)16的平方根为__±4__，－27的5次方根为____； (2)已知x7＝6，则x＝__.__； (3)若有意义，则实数x的取值范围是__[2，＋∞)__. 【思路分析】　解答此类问题应明确n次方根中根指数对被开方数的要求及n次方根的个数要求． 【解析】　(1)∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为. (2)∵x7＝6，∴x＝. (3)要使有意义，则需x－2≥0, 即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)． 『规律方法』　(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数； (2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定． 【变式】 计算下列各值： (1)27的立方根是__3__； (2)256的4次算术方根是__4__； (3)32的5次方根是__2__. 【解析】　(1)∵33＝27， ∴27的立方根是3. (2)∵(±4)4＝256， ∴256的4次算术方根为4. (3)∵25＝32， ∴32的5次方根为2. 考点二 根式的化简 例2　计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【思路分析】　由题目可获得以下主要信息： ①所给形式均为的形式； ②形式中n分为奇数和偶数两种． 解答本题可依据根式的性质 ＝，完成化简． 【解析】　(1)＝－2. (2)＝＝4－π. (3)＝|x＋2|＝. (4)＝x－7. 『规律方法』　1.根式化简或求值的注意点 解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值． 2．对与()n的进一步认识 (1)对()n的理解：当n为大于1的奇数时，()n对任意a∈R都有意义，且()n＝a，当n为大于1的偶数时，()n只有当a≥0时才有意义，且()n＝a(a≥0)． (2)对的理解：对任意a∈R都有意义，且当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝. 【变式】 (1)计算下列各式： ①＝__－a__； ②＝__π－3__； (2)化简下列各式： ①； ②. 【解析】　(1)①＝－a. ②＝＝π－3. (2)①＝|x－2|＝. ②＝x－π. 考点三 根式与分数指数幂的互化 例3　将下列各分数指数幂写成根式的形式： （1）； （2）； （3）． 【思路分析】　(1)关键是理解分数指数幂的意义，先将根式化为分数指数幂的形式．(2)运用分数指数幂的运算性质进行化简． 【解析】　 （1），，故； （2），，故； （3），，故． 『规律方法』　进行分数指数幂与根式的互化时，主要依据公式a＝(a>0，m、n∈N＋)，同时应注意以下几点： (1)在分数指数幂中，若幂指数为负数，可先将其化为正数，再利用公式化为根式； (2)若表达式中根式较多，含有多重根号时，要理清被开方数，由里向外逐次用分数指数幂表示，最后再运用相关的运算性质化简． 例4 将下列各根式写成分数指数幂的形式： （1）； （2）； （3）． 【思路分析】 要把握好形式互化过程中字母位置的对应关系，按照规定逆向进行形式的转化． 【解析】 （1），，故； （2），，故； （3），，故． 说明：将根式写成分数指数幂的形式或将分数指数幂写成根式的形式时，要注意规定中的m、n的对应位置关系，分数指数的分母为根式的根指数，分子为根式中被开方数的指数． 【变式】 1．将下列各根式写成分数指数幂的形式： (1)； (2)；