专题01 任意角与弧度制的5种常考题型-【专题重点突破】2021-2022学年高一数学下学期核心考点精讲精练(人教B版2019必修第三、四册)

任意角与弧度制的5种常考题型 一、任意角 1、任意角的定义： 定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 构成要素：始边、顶点、终边 表示：用大写字母等表示腊字母等表示； 特别的，当角作为变量时，常用字母表示. 2、角的分类 正角：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角； 负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； 零角：一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角 二、象限角与非象限角 1、象限角 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，则角的终边（除端点外）在第几象限，就称这个角为第几象限角. 2、象限角的集合表示 象限角 集合表示 第一象限角 Z 第二象限角 Z 第三象限角 Z 第四象限角 Z 3、非象限角 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限. 4、非象限角的集合表示 角的终边位置 集合表示 轴的非负半轴 轴的非正半轴 轴上 轴非负半轴 轴非正半轴 轴上 5、终边相同的角 一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 ， 即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整个周角的和. 三、弧度制与角度制 1、角度制：规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. 2、弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 3、角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°=2rad 2rad=360° 180°=rad rad=180° 1°=rad0.01745rad 1rad= 4、一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 四、扇形的弧长与面积公式 设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下： 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 考向1 角度制与弧度制互化 【例1】将下列弧度转化为角度：角度化为弧度： （1） ； （2） ；（3） ． （4） ；（5） ． 【答案】15°，390°，﹣75°，． 【解析】∵π＝180°， ∴；；； 36°＝36×；． 【变式1-1】角度制与弧度制的互化： ； ． 【答案】；﹣450°． 【解析】∵180°＝π，∴1，， 则210°＝210×＝；． 【变式1-2】弧度 度； 弧度；1弧度 度（精确到小数点后一位） 【答案】60；；57.3． 【解析】∵π＝180°， ∴弧度＝60°， 75°＝弧度，1弧度＝＝57.3° 【变式1-3】弧度与角度的换算： ； ； ； ． 【答案】2π，180°，，． 【解析】360°＝2πrad； 180°＝πrad 1°＝rad≈0.01745rad 1rad＝°≈57.30°＝57.18′． 考向2 根据图形确定角（范围） 【例2】已知角的终边落在图示阴影部分区域，写出角组成的集合． 【答案】图（1）所表示的角的集合：{α|k•360°﹣135°≤α≤k•360°+135°，k∈Z}． 图2终边落在阴影部分的角的集合{α|k•180°+30°≤α≤k•180°+60°，k∈Z 【变式2-1】已知集合 ，则角 的终边落在阴影处（包括边界）的区域是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合 表示的角在第一象限内，排除C，D， 根据范围可知B正确． 【变式2-2】已知角的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围. 【答案】 【解析】终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为， 终边在180°-75°=105°角的终边所在直线上的角的集合为 ， 因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围为 . 【变式2-3】写出如图所示阴影部分的角α的范围. （1）；（2）. 【答案】（1）{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}； （2）{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}. 【解析】（1）因为与45